Aplicar o método das aproximações sucessivas ao problema de valor inicial não linear
y^prime=x+y^2, com y=0 quando x=0
Tomar Y0(x)=0 como função inicial e calcular Y3(x).

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a solução do problema de valor inicial
y'=x+y^2, y(0)=0
usando o método de aproximações sucessivas (Picard). Começamos com
Y0(x)=0
e, para n>=0, definimos
Yn+1(x)=y(0)+integral0^xl(t+(Yn(t))^2r),dt =integral0^xl(t+(Yn(t))^2r),dt
porque y(0)=0. Vamos calcular Y1, Y2 e finalmente Y3.

Passo 2

Cálculo de Y1(x):
Y1(x)=integral0^xl(t+(Y0(t))^2r),dt =integral0^xt,dt =x^22

Passo 3

Cálculo de Y2(x):
Como Y1(t)=tfract^22, temos (Y1(t))^2=tfract^44.
Y2(x) =integral0^xl(t+t^44r),dt =integral0^xt,dt+integral0^xt^44,dt =x^22+x^520

Passo 4

Cálculo de Y3(x):
Primeiro,
Y2(t)=t^22+t^520 Longrightarrow (Y2(t))^2 =t^44+t^720+t^10400
Logo
Y3(x) =integral0^xl(t+t^44+t^720+t^10400r),dt =x^22 +x^520 +x^8160 +x^114400

Resposta

Y3(x) =x^22 +x^520 +x^8160 +x^114400

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