Prove que y é uma solução da equação diferencial dada:
y^prime prime-3 y^prime+2 y=0 ; y=c1 e^x+c2 e^2 x ; c1, c2 in R

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 3y' + 2y = 0
e sugere como solução geral
y = c1e^x + c2e^2x,
onde c1,c2inR. Vamos verificar diretamente que essa função satisfaz a equação.

Passo 2

Calculemos as derivadas de y. Como
y(x)=c1e^x+c2e^2x,
temos, usando a regra da cadeia,
y'(x)=c1e^x+2c2e^2x,
y''(x)=c1e^x+4c2e^2x

Passo 3

Substituímos y, y' e y'' na expressão y'' - 3y' + 2y:
y'' - 3y' + 2y = l(c1e^x+4c2e^2xr) -3l(c1e^x+2c2e^2xr) +2l(c1e^x+c2e^2xr)

Passo 4

Agrupando termos em e^x e e^2x,
y'' - 3y' + 2y = c1e^xl(1 -3 +2r) + c2e^2xl(4 -6 +2r) = c1e^xcdot 0 + c2e^2xcdot 0 =0
Como o resultado é identicamente zero, a função y=c1e^x+c2e^2x satisfaz a equação diferencial.

Resposta

A expressão y=c1e^x+c2e^2x é de fato a solução geral da equação diferencial
y''-3y'+2y=0.

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