Questão 1 (2.0 pts.) Dada a integral dupla
I=integralD f d A=integral-1^2 integralx^2-4^x-2 f(x, y) d y d x
(a) Esboce a região D;
(b) Inverta a ordem de integração;

Passo 1

O enunciado dá a integral dupla
I=integralDf,dA=integralx=-1^2integraly=x^2-4^,y=x-2f(x,y),dy,dx
ou seja, a região D é
D=(x,y)mid -1<= x<=2,;x^2-4<= y<= x-2
O objetivo é (a) esboçar D no plano xy e (b) escrever I com a ordem de integração dy,dx trocada para dx,dy. Para isso vamos identificar os limites em y e, para cada y, os limites correspondentes em x.

Passo 2

Primeiro encontramos os pontos de interseção das curvas
y=x^2-4 e y=x-2
Igualando x^2-4=x-2 obtemos
x^2-x-2=0Longrightarrow x=1pm32;Rightarrow;x=-1 ou x=2,
e daí y(-1)=-3, y(2)=0. Assim D é o “fechamento” da região limitada abaixo pela parábola y=x^2-4 e acima pela reta y=x-2, de x=-1 até x=2.

Passo 3

No esboço, a parábola tem vértice em (0,-4) e os pontos de interseção com a reta em (-1,-3) e (2,0). Logo y varia de
ymin=-4 até ymax=0 é

Passo 4

Para inverter a ordem, escrevemos as desigualdades
x^2-4<= y<= x-2
como
x^2<= y+4 Longrightarrow -raizy+4<= x<=raizy+4,
e
y<= x-2 Longrightarrow x>= y+2
Comparando x>= y+2 com -raizy+4<= x, vemos que para y entre -4 e -3 a reta x=y+2 fica à esquerda de -raizy+4, de modo que o x-mínimo é -raizy+4. Já para -3<= y<=0 o ponto x=y+2 fica à direita da parábola à esquerda, então o x-mínimo é y+2. O x-máximo em ambos os casos é raizy+4.

Passo 5

Portanto a integral trocada em ordem dx,dy fica em duas parcelas:
I =integraly=-4^-3!integralx=-raizy+4^;raizy+4f(x,y),dx,dy +integraly=-3^0!integralx=y+2^;raizy+4f(x,y),dx,dy

Resposta

boxed I =integral-4^-3integral-raizy+4^raizy+4f(x,y),dx,dy +integral-3^0integraly+2^raizy+4f(x,y),dx,dy

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