Questão 1 (2.0 pts.) Dada a integral dupla
(a) Esboce a região D;
(b) Inverta a ordem de integração;
(b) Inverta a ordem de integração;
Passo 1
O enunciado dá a integral dupla
ou seja, a região
é
O objetivo é (a) esboçar
no plano
e (b) escrever
com a ordem de integração
trocada para
. Para isso vamos identificar os limites em
e, para cada
, os limites correspondentes em
.
Passo 2
Primeiro encontramos os pontos de interseção das curvas
Igualando
obtemos
e daí
,
. Assim
é o “fechamento” da região limitada abaixo pela parábola
e acima pela reta
, de
até
.
Passo 3
No esboço, a parábola tem vértice em
e os pontos de interseção com a reta em
e
. Logo
varia de
Passo 4
Para inverter a ordem, escrevemos as desigualdades
como
e
Comparando
com
, vemos que para
entre
e
a reta
fica à esquerda de
, de modo que o
-mínimo é
. Já para
o ponto
fica à direita da parábola à esquerda, então o
-mínimo é
. O
-máximo em ambos os casos é
.
Passo 5
Portanto a integral trocada em ordem
fica em duas parcelas: