Questão 3 Uma lâmina no plano XY é limitada dentro da circunferência x^2+ (y-2)^2=4 e fora da circunferência x^2+y^2=4. Calcule a massa da lâmina se a densidade da mesma é dada por de<a(x, y)=raizx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede a massa da lâmina D limitada externamente pela circunferência
x^2+y^2=4
e internamente pela circunferência
x^2+(y-2)^2=4,
com densidade de<a(x,y)=raizx^2+y^2.
Conteúdo: integrais duplas em coordenadas polares.

Passo 2

A massa vale
M = integral duplaD de<a(x,y),dA = integral duplaD raizx^2+y^2,dA
Para simplificar, usamos coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta, em que raizx^2+y^2=r e dA = r,dr,dtheta.

Passo 3

Em polares a curva externa x^2+y^2=4 vira r=2 e a interna
x^2+(y-2)^2=4
é
r^2-4rsintheta +4 =4 Longrightarrow r = 4sintheta
Como precisamos de r>=2 e r<=4sintheta, exigimos 4sintheta>=2, ou seja sintheta>=12, isto é thetain[tfracpi6,tfrac5pi6].

Passo 4

Então
M = integraltheta=pi/6^5pi/6integralr=2^4sintheta r;(r,dr,dtheta) = integralpi/6^5pi/6integral2^4sintheta r^2,dr,dtheta

Passo 5

Calcule o integral em r:
integral2^4sintheta r^2,dr = gl[r^33gr]2^4sintheta = (4sintheta)^3-2^33 = 64sin^3theta -83
Logo
M = integralpi/6^5pi/6 64sin^3theta -83,dtheta = 13l(64!integral sin^3theta,dtheta -8!integral dthetar)

Passo 6

Sabendo
integral sin^3theta,dtheta = integral sintheta(1-cos^2theta),dtheta = -costheta + cos^3theta3,
avaliamos de pi/6 a 5pi/6:
integralpi/6^5pi/6sin^3theta,dtheta = l[-costheta + tfraccos^3theta3r]pi/6^5pi/6 = 3raiz34
E
integralpi/6^5pi/6dtheta = 5pi6-pi6 = 2pi3

Passo 7

Substituindo em M:
M = 13l(64cdot3raiz34 -8cdot2pi3r) = 13l(48raiz3 - 16pi3r) = 16raiz3 - 16pi9

Resposta

M = 16raiz3 ;-; 16pi9

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