Aplicar o método da variação dos parâmetros para calcular a solução particular da equação não homogênea:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros. A gente tem uma equação do segundo grau onde os termos dependem de e suas derivadas. Para encontrar uma solução particular , vamos precisar primeiro resolver a equação homogênea associada e depois aplicar o método da variação dos parâmetros para achar essa solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, montamos a equação característica. Substituímos por e obtemos:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método da variação dos parâmetros para encontrar a solução particular . A ideia é substituir as constantes e por funções e , respectivamente. Assim, nossa solução particular será:
Passo 4
Para encontrar e , precisamos calcular o Wronskiano das soluções homogêneas. Primeiro, encontramos as derivadas:
O Wronskiano é dado por:
[
W =