Aplicar o método da variação dos parâmetros para calcular a solução particular yp(x) da equação não homogênea:
y^prime prime+3 y^prime+2 y=1 /(1+e^x), x in(-infty, infty)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros. A gente tem uma equação do segundo grau onde os termos dependem de e suas derivadas. Para encontrar uma solução particular , vamos precisar primeiro resolver a equação homogênea associada e depois aplicar o método da variação dos parâmetros para achar essa solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' + 3 y' + 2 y = 0
Para isso, montamos a equação característica. Substituímos r^2 + 3r + 2 = 0 por r = -1 e r = -2 e obtemos:
yc(x) = C1 e^-x + C2 e^-2x
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método da variação dos parâmetros para encontrar a solução particular yp(x) = u1(x) e^-x + u2(x) e^-2x . A ideia é substituir as constantes e por funções e , respectivamente. Assim, nossa solução particular será:

Passo 4

Para encontrar y1 = e^-x Rightarrow y1' = -e^-x e y2 = e^-2x Rightarrow y2' = -2 e^-2x , precisamos calcular o Wronskiano das soluções homogêneas. Primeiro, encontramos as derivadas:
W = y1 & y2 y1' & y2' = e^-x & e^-2x - e^-x & -2 e^-2x = e^-x cdot (-2 e^-2x) - e^-2x cdot (-e^-x) = -2 e^-3x + e^-3x = -e^-3x

O Wronskiano é dado por:
[
W =


= e^{-x} \cdot (-2 e^{-2x}) - e^{-2x} \cdot (-e^{-x})
= -2 e^{-3x} + e^{-3x} = -e^{-3x}
]

Passo 5

Agora, usamos as fórmulas para u1' = -y2 cdot g(x)W = -e^-2x cdot 11 + e^x-e^-3x = e^-2x(1 + e^x) e^-3x = e^x1 + e^x e u2' = y1 cdot g(x)W = e^-x cdot 11 + e^x-e^-3x = -e^-x(1 + e^x) e^-3x = -e^2x1 + e^x :

Passo 6

Integrando u1 = integral e^x1 + e^x dx = integral 1 + e^x - 11 + e^x dx = integral (1 - 11 + e^x) dx = x - ln(1 + e^x) + C e u2 = integral -e^2x1 + e^x dx = -integral e^2x1 + e^x dx :
u2 = -integral e^x cdot e^xu dx = -integral (u - 1)e^xu cdot due^x = -integral (1 - 1u) du = -u + ln|u| + C = -(1 + e^x) + ln(1 + e^x) + C
Fazendo a substituição , então :

Passo 7

Agora, substituímos yp(x) = (x - ln(1 + e^x)) e^-x + (-(1 + e^x) + ln(1 + e^x)) e^-2x e yp(x) = x e^-x - e^-x ln(1 + e^x) - (1 + e^x) e^-2x + e^-2x ln(1 + e^x) na expressão de :
Simplificando:

Resposta

A solução particular é:
yp(x) = x e^-x - e^-x ln(1 + e^x) - (1 + e^x) e^-2x + e^-2x ln(1 + e^x)

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