Justifique todas as suas respostas.
Determine se as sequências convergem ou divergem e, no caso que sejam convergentes, encontre o seu limite
cn=ln (n^2+1)-ln (4 n^2+1)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência definida por . O objetivo é determinar se essa sequência converge ou diverge. Se ela convergir, precisamos encontrar o seu limite. Para resolver isso, vamos usar propriedades dos logaritmos e conceitos de limite de sequências.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão usando uma propriedade dos logaritmos: cn = ln(n^2 + 1) - ln(4n^2 + 1) = ln(n^2 + 14n^2 + 1) . Aplicando isso à nossa sequência:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o limite de limn to infty ln(n^2 + 14n^2 + 1) quando tende ao infinito. Isso é equivalente a encontrar:

Passo 4

Para facilitar, vamos primeiro encontrar o limite da fração dentro do logaritmo:
limn to infty n^2 + 14n^2 + 1
Dividindo numerador e denominador por limn to infty 1 + 1n^24 + 1n^2 = 1 + 04 + 0 = 14 :

Passo 5

Agora que sabemos que:
limn to infty n^2 + 14n^2 + 1 = 14
Podemos aplicar o limite dentro do logaritmo:
limn to infty ln(n^2 + 14n^2 + 1) = ln(14)

Passo 6

Calculando o valor do logaritmo:
ln(14) = ln(1) - ln(4) = 0 - ln(4) = -ln(4)

Resposta

A sequência converge, e o seu limite é .

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