Justifique todas as suas respostas.
Determine se as sequências convergem ou divergem
, no caso que sejam convergentes, encontre o seu limite
Determine se as sequências convergem ou divergem
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência definida por
. O objetivo é determinar se essa sequência converge ou diverge. Se ela convergir, precisamos encontrar o seu limite. Para resolver isso, vamos usar propriedades dos logaritmos e conceitos de limite de sequências.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão usando uma propriedade dos logaritmos:
. Aplicando isso à nossa sequência:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o limite de
quando
tende ao infinito. Isso é equivalente a encontrar:
Passo 4
Para facilitar, vamos primeiro encontrar o limite da fração dentro do logaritmo:
Dividindo numerador e denominador por
:
Passo 5
Agora que sabemos que:
Podemos aplicar o limite dentro do logaritmo:
Passo 6
Calculando o valor do logaritmo:
Resposta
A sequência
converge, e o seu limite é
.