Obter a solução geral da equação não homogênea.
y^prime prime+3 y^prime+2 y=1 /(1+e^x), x in(-infty, infty)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial não homogênea:
y^prime prime + 3 y^prime + 2 y = 11 + e^x, x in (-infty, infty)
Aqui, estamos lidando com uma equação linear de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular da equação não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
y^prime prime + 3 y^prime + 2 y = 0
Para resolver essa equação, vamos encontrar as raízes da equação característica associada.

Passo 3

A equação característica é dada por:
r^2 + 3 r + 2 = 0
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de .

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática:
r = -3 pm raiz9 - 82 = -3 pm 12
Então, temos duas raízes:
r1 = -1 e r2 = -2

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yh = C1 e^-x + C2 e^-2x
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular y^prime prime + 3 y^prime + 2 y = 11 + e^x para a equação não homogênea:
Vamos usar o método de variação dos parâmetros para isso.

Passo 7

Assumimos que a solução particular tem a forma:
yp = u1(x) e^-x + u2(x) e^-2x
Onde e são funções que precisamos determinar.

Passo 8

Derivamos yp' = u1' e^-x - u1 e^-x + u2' e^-2x - 2 u2 e^-2x :
yp'' = u1'' e^-x - 2 u1' e^-x + u2'' e^-2x - 4 u2' e^-2x + 4 u2 e^-2x

Passo 9

Substituímos (u1'' e^-x - 2 u1' e^-x + u2'' e^-2x - 4 u2' e^-2x + 4 u2 e^-2x) + 3(u1' e^-x - u1 e^-x + u2' e^-2x - 2 u2 e^-2x) + 2(u1 e^-x + u2 e^-2x) = 11 + e^x , e na equação original:

Passo 10

Simplificando a expressão, percebemos que os termos envolvendo (-u1' e^-x - 2 u2' e^-2x) = 11 + e^x e se cancelam, deixando uma equação linear para e :

Passo 11

Resolvemos o sistema de equações para u1' e^-x + u2' e^-2x = 0 e -u1' e^-x - 2 u2' e^-2x = 11 + e^x :
(-u1' e^-x - 2 u2' e^-2x) + (u1' e^-x + u2' e^-2x) = 11 + e^x
- u2' e^-2x = 11 + e^x
Multiplicamos a primeira equação por 1 e somamos com a segunda para eliminar :

Passo 12

Isolamos u2' = - e^2x1 + e^x :
u2' = - e^x cdot e^x1 + e^x = - e^x cdot e^x1 + e^x = - e^x cdot (1 - 11 + e^x) = - e^x + e^x1 + e^x
Simplificamos:

Passo 13

Integrando u2 = integral (- e^x + e^x1 + e^x) dx = - e^x + ln(1 + e^x) + C para encontrar :
Podemos ignorar a constante de integração já que será absorvida na solução geral.

Passo 14

Usando a primeira equação do sistema:
u1' e^-x + u2' e^-2x = 0 implies u1' = - u2' e^-x
Substituímos u1' = e^-x cdot e^2x1 + e^x = e^x1 + e^x :

Passo 15

Integrando u1 = integral e^x1 + e^x dx = ln(1 + e^x) + C para encontrar :
Novamente, ignoramos a constante de integração.

Passo 16

Agora, temos yp = ln(1 + e^x) e^-x + (- e^x + ln(1 + e^x)) e^-2x e yp = e^-x ln(1 + e^x) - e^-x + e^-2x ln(1 + e^x) , então a solução particular é:
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação é:
y = C1 e^-x + C2 e^-2x + e^-x ln(1 + e^x) - e^-x + e^-2x ln(1 + e^x)
onde e são constantes arbitrárias.

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