Obter a solução geral da equação não homogênea.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial não homogênea:
Aqui, estamos lidando com uma equação linear de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular da equação não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
Para resolver essa equação, vamos encontrar as raízes da equação característica associada.
Passo 3
A equação característica é dada por:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos duas raízes:
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea:
Vamos usar o método de variação dos parâmetros para isso.
Passo 7
Assumimos que a solução particular tem a forma:
Onde
e
são funções que precisamos determinar.
Passo 8
Derivamos
:
Passo 9
Substituímos
,
e
na equação original:
Passo 10
Simplificando a expressão, percebemos que os termos envolvendo
e
se cancelam, deixando uma equação linear para
e
:
Passo 11
Resolvemos o sistema de equações para
e
:
Multiplicamos a primeira equação por 1 e somamos com a segunda para eliminar
:
Passo 12
Isolamos
:
Simplificamos:
Passo 13
Integrando
para encontrar
:
Podemos ignorar a constante de integração
já que será absorvida na solução geral.
Passo 14
Usando a primeira equação do sistema:
Substituímos
:
Passo 15
Integrando
para encontrar
:
Novamente, ignoramos a constante de integração.
Passo 16
Agora, temos
e
, então a solução particular é:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação é:
onde
e
são constantes arbitrárias.