Aplicar o método da variação dos parâmetros para calcular a solução particular yp(x) da equação não homogênea:
y^prime prime+y=sen x, x in(-infty, infty)

Passo 1

Beleza, então a gente tem a equação diferencial . Vamos usar o método da variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular . Para isso, precisamos entender as soluções da equação homogênea associada e depois aplicar o método para achar .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea correspondente, que é yh(x) = C1 cos(x) + C2 sin(x) . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é uma combinação de funções trigonométricas:
onde e são constantes que a gente determina com condições iniciais, se tiver.

Passo 3

Agora, para encontrar a solução particular yp(x) = u1(x) cos(x) + u2(x) sin(x) usando a variação dos parâmetros, vamos assumir que os coeficientes e não são constantes, mas sim funções de , ou seja, e . Então, a solução particular vai ter a forma:

Passo 4

A seguir, precisamos encontrar as funções u1' cos(x) + u2' sin(x) = 0 e - u1' sin(x) + u2' cos(x) = sin(x) . Para isso, usamos as seguintes equações:
Essas equações vêm da derivada de e da substituição na equação original.

Passo 5

Resolvendo o sistema de equações, multiplicamos a primeira equação por u2' cos^2(x) + u2' sin^2(x) = sin(x) cos(x) e a segunda por u2' = sin(x) cos(x) , depois somamos:
u2(x) = integral sin(x) cos(x) , dx = 12 sin^2(x) + K
Simplificando, já que :
Integrando :
Onde é a constante de integração, que pode ser descartada no método da variação dos parâmetros.

Passo 6

Voltando para a primeira equação:
u1' cos(x) + u2' sin(x) = 0
Substituindo u1' cos(x) + sin(x) cos(x) sin(x) = 0 :
u1' cos(x) + cos(x) sin^2(x) = 0
u1' = - sin^2(x)
u1(x) = - integral sin^2(x) , dx = -x2 + sin(2x)4 + K
Integrando :
Novamente, descartamos .

Passo 7

Agora, substituímos yp(x) = ( -x2 + sin(2x)4 ) cos(x) + ( 12 sin^2(x) ) sin(x) e yp(x) = -x2 cos(x) + sin(2x)4 cos(x) + 12 sin^3(x) na expressão da solução particular:
Simplificando os termos:

Resposta

A solução particular da equação é
yp(x) = -x2 cos(x)

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