Aplicar o método da variação dos parâmetros para calcular a solução particular
da equação não homogênea:
Passo 1
Beleza, então a gente tem a equação diferencial
. Vamos usar o método da variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular
. Para isso, precisamos entender as soluções da equação homogênea associada e depois aplicar o método para achar
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea correspondente, que é
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é uma combinação de funções trigonométricas:
onde
e
são constantes que a gente determina com condições iniciais, se tiver.
Passo 3
Agora, para encontrar a solução particular
usando a variação dos parâmetros, vamos assumir que os coeficientes
e
não são constantes, mas sim funções de
, ou seja,
e
. Então, a solução particular vai ter a forma:
Passo 4
A seguir, precisamos encontrar as funções
e
. Para isso, usamos as seguintes equações:
Essas equações vêm da derivada de
e da substituição na equação original.
Passo 5
Resolvendo o sistema de equações, multiplicamos a primeira equação por
e a segunda por
, depois somamos:
Simplificando, já que
:
Integrando
:
Onde
é a constante de integração, que pode ser descartada no método da variação dos parâmetros.
Passo 6
Voltando para a primeira equação:
Substituindo
:
Integrando
:
Novamente, descartamos
.
Passo 7
Agora, substituímos
e
na expressão da solução particular:
Simplificando os termos:
Resposta
A solução particular da equação é