Resolva as equações seguintes usando o método do fator integrante:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo
. Isso está dentro do estudo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que ajuda a transformar a equação em algo mais fácil de resolver. Precisamos reorganizar a equação e aplicar esse método passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação no formato padrão das equações diferenciais lineares de primeira ordem, que é
. Vamos dividir todos os termos por
para conseguir isso:
Aqui, identificamos que
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que multiplica toda a equação para facilitar a integração. O fator integrante (
) é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso torna a esquerda da equação a derivada do produto
.
Passo 5
Agora, a equação pode ser escrita como:
Para encontrar
, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Passo 6
Integrando o lado esquerdo, fica apenas
. Para o lado direito, fazemos uma substituição simples. Dejamos
, então
, ou
. Assim:
Passo 7
Voltando à nossa equação:
Agora, para isolar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação é: