Resolva as equações seguintes usando o método do fator integrante:
x^-2 y^prime-3 y=1, x in(-infty, infty)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo x^-2 y' - 3y = 1. Isso está dentro do estudo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que ajuda a transformar a equação em algo mais fácil de resolver. Precisamos reorganizar a equação e aplicar esse método passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação no formato padrão das equações diferenciais lineares de primeira ordem, que é y' + P(x)y = Q(x). Vamos dividir todos os termos por x^-2 para conseguir isso:
y' - 3x^2y = x^2
Aqui, identificamos que P(x) = -3x^2 e Q(x) = x^2.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que multiplica toda a equação para facilitar a integração. O fator integrante ( mu(x)) é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Substituindo P(x) = -3x^2:
mu(x) = e^integral -3x^2 dx = e^-x^3

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(x) = e^-x^3:
e^-x^3 y' - 3x^2 e^-x^3 y = x^2 e^-x^3
Isso torna a esquerda da equação a derivada do produto mu(x) y.

Passo 5

Agora, a equação pode ser escrita como:
ddx ( e^-x^3 y ) = x^2 e^-x^3
Para encontrar y, vamos integrar ambos os lados em relação a x:
integral ddx ( e^-x^3 y ) dx = integral x^2 e^-x^3 dx

Passo 6

Integrando o lado esquerdo, fica apenas e^-x^3 y. Para o lado direito, fazemos uma substituição simples. Dejamos u = -x^3, então du = -3x^2 dx, ou - 13 du = x^2 dx. Assim:
integral x^2 e^-x^3 dx = -13 integral e^u du = -13 e^u + C = -13 e^-x^3 + C

Passo 7

Voltando à nossa equação:
e^-x^3 y = -13 e^-x^3 + C
Agora, para isolar y, multiplicamos ambos os lados por e^x^3:
y = -13 + C e^x^3

Resposta

A solução geral da equação é:
y(x) = -13 + C e^x^3

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