Calcular a solução geral yh(x) da equação homogênea
y^prime prime+3 y^prime+2 y=0, x in(-infty, infty)

Passo 1

Beleza! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem:
y'' + 3y' + 2y = 0
A gente precisa encontrar a solução geral dessa equação. Para resolver isso, vamos usar o método das equações características, que é uma técnica padrão para resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, a gente monta a equação característica associada à equação diferencial. Isso é feito substituindo r^2 + 3r + 2 = 0 por , por e por 1 na equação original. Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de (r + 1)(r + 2) = 0 . A gente pode fatorar a equação:
r1 = -1 e r2 = -2
Isso nos dá duas raízes:

Passo 4

Como temos duas raízes reais e distintas ( yh(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x e yh(x) = C1 e^-x + C2 e^-2x ), a solução geral da equação diferencial homogênea é uma combinação linear dessas raízes com exponenciais. Ou seja:
Substituindo os valores de e :

Resposta

A solução geral da equação diferencial homogênea é:
yh(x) = C1 e^-x + C2 e^-2x
Onde e são constantes arbitrárias.

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