Calcular a solução geral
da equação homogênea
Passo 1
Beleza! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem:
A gente precisa encontrar a solução geral
dessa equação. Para resolver isso, vamos usar o método das equações características, que é uma técnica padrão para resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, a gente monta a equação característica associada à equação diferencial. Isso é feito substituindo
por
,
por
e
por 1 na equação original. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. A gente pode fatorar a equação:
Isso nos dá duas raízes:
Passo 4
Como temos duas raízes reais e distintas (
e
), a solução geral da equação diferencial homogênea é uma combinação linear dessas raízes com exponenciais. Ou seja:
Substituindo os valores de
e
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.