Determinar os pontos de máximo e mínimo da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que encontrar os pontos de máximo e mínimo da função
. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada. Precisamos encontrar onde as derivadas parciais em relação a
e
são iguais a zero (chamados pontos críticos) e depois verificar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema de equações onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Vamos resolver esse sistema.
Passo 4
Da segunda equação,
, temos duas possibilidades:
Vamos analisar cada caso separadamente.
Passo 5
Caso 1:
Substituindo
na primeira equação:
Portanto, temos dois pontos críticos:
e
.
Passo 6
Caso 2:
Substituindo
na primeira equação:
Portanto, temos mais dois pontos críticos:
e
.
Passo 7
Agora que encontramos os pontos críticos
,
,
e
, vamos usar o teste da segunda derivada para determinar se cada ponto é um máximo, mínimo ou ponto de sela.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
O discriminante
é dado por:
Passo 8
Vamos calcular
para cada ponto crítico:
-
Ponto
: Como, esse ponto é um ponto de sela. -
Ponto
: Também é um ponto de sela. -
Ponto
: Além disso,, então esse ponto é um ponto de mínimo local. -
Ponto
: Aqui,, então esse ponto é um ponto de máximo local.
Resposta
Os pontos de máximo e mínimo da função
são:
- Máximo Local:
- Mínimo Local:
Os pontos
e
são pontos de sela.