Determinar os pontos de máximo e mínimo da função
f(x, y)=3 x y^2+x^3-3 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar os pontos de máximo e mínimo da função . Para isso, vamos usar um pouco de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada. Precisamos encontrar onde as derivadas parciais em relação a e são iguais a zero (chamados pontos críticos) e depois verificar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a fx(x, y) = partial fpartial x = 3y^2 + 3x^2 - 3 e fy(x, y) = partial fpartial y = 6xy .
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema de equações onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
3y^2 + 3x^2 - 3 = 0 6xy = 0
Vamos resolver esse sistema.

Passo 4

Da segunda equação, , temos duas possibilidades:
Vamos analisar cada caso separadamente.

Passo 5

Caso 1: 3y^2 + 3(0)^2 - 3 = 0 implies 3y^2 - 3 = 0 implies y^2 = 1 implies y = pm 1
Substituindo na primeira equação:
Portanto, temos dois pontos críticos: e .

Passo 6

Caso 2: 3(0)^2 + 3x^2 - 3 = 0 implies 3x^2 - 3 = 0 implies x^2 = 1 implies x = pm 1
Substituindo na primeira equação:
Portanto, temos mais dois pontos críticos: e .

Passo 7

Agora que encontramos os pontos críticos fxx = partial^2 fpartial x^2 = 6x , fyy = partial^2 fpartial y^2 = 6x , fxy = partial^2 fpartial x partial y = 6y e D = fxx fyy - (fxy)^2 , vamos usar o teste da segunda derivada para determinar se cada ponto é um máximo, mínimo ou ponto de sela.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
O discriminante é dado por:

Passo 8

Vamos calcular fxx = 0, fyy = 0, fxy = 6 para cada ponto crítico:
  1. Ponto D = (0)(0) - (6)^2 = -36 < 0 :
    fxx = 0, fyy = 0, fxy = -6
    D = (0)(0) - (-6)^2 = -36 < 0
    Como fxx = 6, fyy = 6, fxy = 0 , esse ponto é um ponto de sela.
  2. Ponto D = (6)(6) - (0)^2 = 36 > 0 :
    fxx = -6, fyy = -6, fxy = 0
    D = (-6)(-6) - (0)^2 = 36 > 0
    Também é um ponto de sela.
  3. Ponto :
    Além disso, , então esse ponto é um ponto de mínimo local.
  4. Ponto :
    Aqui, , então esse ponto é um ponto de máximo local.

Resposta

Os pontos de máximo e mínimo da função são:
  • Máximo Local:
  • Mínimo Local:
Os pontos e são pontos de sela.

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