Aplicar a regra dos trapézios com \mathrm{n}=5 subintervalos para calcular o valor aproximado da integral. Calcular o limitante do erro.
\int_{0}^{2} e^{x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede: aproximar a integral
\int_{0}^{2} e^{x^{2}}\,dx
usando a regra dos trapézios composta com \mathrm{n}=5 subintervalos e calcular um limitante (cota) para o erro.
Dados fornecidos e relevantes: o intervalo é [0,2], o número de subintervalos é \mathrm{n}=5. Não há outras informações externas.

Passo 2

Apresentação e explicação da regra dos trapézios composta (fórmula que vamos usar).
Dividimos o intervalo [a,b] em \mathrm{n} subintervalos iguais de largura
h=\frac{b-a}{\mathrm{n}}.
Se x_{0}=a<x_{1}<\cdots<x_{\mathrm{n}}=b são os nós e f(x) é a função, a regra dos trapézios composta dá a aproximação
T_{\mathrm{n}}=h\left(\frac{f(x_{0})+f(x_{\mathrm{n}})}{2}+\sum_{i=1}^{\mathrm{n}-1} f(x_{i})\right).
Explicando em miúdos: cada subintervalo [x_{i-1},x_i] é aproximado pela área do trapézio com bases f(x_{i-1}) e f(x_i); somando todos os trapézios obtemos T_{\mathrm{n}}. Aqui h é a largura de cada subintervalo, f(x_0) e f(x_n) aparecem com metade do peso porque cada uma é base apenas de um trapézio na extremidade.

Passo 3

Calcular h e os nós para o nosso caso [a,b]=[0,2] e \mathrm{n}=5.
h=\frac{2-0}{5}=\frac{2}{5}=0,4.
Os nós são
x_{0}=0,\; x_{1}=0,4,\; x_{2}=0,8,\; x_{3}=1,2,\; x_{4}=1,6,\; x_{5}=2.

Passo 4

Avaliar a função f(x)=e^{x^{2}} em cada nó (a função é f(x)=e^{x^{2}}, então em cada nó calculamos e^{x_i^2}). Vou listar os valores aproximados (usei aproximações decimais razoavelmente precisas):
\begin{aligned} f(x_{0})&=f(0)=e^{0}=1,\\[4pt] f(x_{1})&=f(0,4)=e^{(0,4)^{2}}=e^{0,16}\approx 1,1735108709918103,\\[4pt] f(x_{2})&=f(0,8)=e^{(0,8)^{2}}=e^{0,64}\approx 1,8964801489306346,\\[4pt] f(x_{3})&=f(1,2)=e^{(1,2)^{2}}=e^{1,44}\approx 4,220695816996549,\\[4pt] f(x_{4})&=f(1,6)=e^{(1,6)^{2}}=e^{2,56}\approx 12,9358281978590,\\[4pt] f(x_{5})&=f(2)=e^{4}\approx 54,598150033144236. \end{aligned}]

Passo 5

Aplicar a fórmula do trapézio composta com os valores calculados. Substituindo na fórmula
T_{5}=h\left(\frac{f(x_{0})+f(x_{5})}{2}+f(x_{1})+f(x_{2})+f(x_{3})+f(x_{4})\right).
Calculemos a soma interna passo a passo:
\frac{f(x_{0})+f(x_{5})}{2}=\frac{1+54,598150033144236}{2}\approx 27,799075016572118,
e
f(x_{1})+f(x_{2})+f(x_{3})+f(x_{4})\approx 1,1735108709918103+1,8964801489306346+4,220695816996549+12,9358281978590\approx 20,226515034777994.
Somando as partes:
27,799075016572118+20,226515034777994\approx 48,02559005135011.
Multiplicando por h=0,4:
T_{5}=0,4\cdot 48,02559005135011\approx 19,210236020540044.
Portanto a aproximação pelo método dos trapézios com \mathrm{n}=5 é
T_{5}\approx 19,2102360205.

Passo 6

Agora o limitante (cota) do erro para a regra dos trapézios composta. A fórmula de cota do erro para a regra dos trapézios composta é
\left|E_{T}\right|\le \frac{(b-a)^{3}}{12\,\mathrm{n}^{2}}\;M_{2},
onde M_{2}=\max_{x\in[a,b]} |f''(x)|. Vou explicar: essa fórmula vem da estimativa do erro local em cada subintervalo (envolve a segunda derivada) e, ao somar os erros, obtém-se essa cota; M_{2} é o maior valor absoluto de f'' no intervalo, garantindo que a cota seja válida em todo o intervalo.
Calculemos f''(x) para f(x)=e^{x^{2}}. Primeiro
f'(x)=2x e^{x^{2}}.
Derivando novamente,
f''(x)=2e^{x^{2}}+4x^{2}e^{x^{2}}=(2+4x^{2})e^{x^{2}}.
Como no nosso intervalo x\in[0,2] temos x\ge 0, tanto 2+4x^{2} quanto e^{x^{2}} são funções crescentes, logo o produto é crescente em [0,2]. Portanto o máximo ocorre em x=2:
M_{2}=f''(2)=(2+4\cdot 2^{2})e^{4}=(2+16)e^{4}=18e^{4}.
Usando e^{4}\approx 54,598150033144236,
M_{2}\approx 18\cdot 54,598150033144236\approx 982,7667005965962.
Agora aplicamos a fórmula da cota com a=0, b=2, \mathrm{n}=5:
\left|E_{T}\right|\le \frac{(2-0)^{3}}{12\cdot 5^{2}}\;M_{2}=\frac{8}{12\cdot 25}\;M_{2}=\frac{8}{300}\;M_{2}=\frac{2}{75}\;M_{2}.
Substituindo M_{2}:
\left|E_{T}\right|\le \frac{8}{300}\cdot 982,7667005965962\approx 26,207112015909235.
Portanto uma cota para o erro absoluto é aproximadamente \;26,2071120159. Observação didática: essa cota é uma garantia teórica — muitas vezes na prática o erro real é bem menor, mas a cota mostra que, com os dados que temos, não podemos garantir um erro menor que esse sem aumentar \mathrm{n}.

Resposta

Valor aproximado da integral: \displaystyle 19,2102360205
Limitante do erro: \displaystyle 26,2071120159

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