Aplicar a regra dos trapézios com
subintervalos para calcular o valor aproximado da integral. Calcular o limitante do erro.
Passo 1
O enunciado pede: aproximar a integral
usando a regra dos trapézios composta com
subintervalos e calcular um limitante (cota) para o erro.
Dados fornecidos e relevantes: o intervalo é , o número de subintervalos é
. Não há outras informações externas.
Dados fornecidos e relevantes: o intervalo é
Passo 2
Apresentação e explicação da regra dos trapézios composta (fórmula que vamos usar).
Dividimos o intervalo em
subintervalos iguais de largura
Dividimos o intervalo
Se
são os nós e
é a função, a regra dos trapézios composta dá a aproximação
Explicando em miúdos: cada subintervalo
é aproximado pela área do trapézio com bases
e
; somando todos os trapézios obtemos
. Aqui
é a largura de cada subintervalo,
e
aparecem com metade do peso porque cada uma é base apenas de um trapézio na extremidade.
Passo 3
Calcular
e os nós para o nosso caso
e
.
Os nós são
Passo 4
Avaliar a função
em cada nó (a função é
, então em cada nó calculamos
). Vou listar os valores aproximados (usei aproximações decimais razoavelmente precisas):
Passo 5
Aplicar a fórmula do trapézio composta com os valores calculados. Substituindo na fórmula
Calculemos a soma interna passo a passo:
e
Somando as partes:
Multiplicando por
:
Portanto a aproximação pelo método dos trapézios com
é
Passo 6
Agora o limitante (cota) do erro para a regra dos trapézios composta. A fórmula de cota do erro para a regra dos trapézios composta é
onde
. Vou explicar: essa fórmula vem da estimativa do erro local em cada subintervalo (envolve a segunda derivada) e, ao somar os erros, obtém-se essa cota;
é o maior valor absoluto de
no intervalo, garantindo que a cota seja válida em todo o intervalo.
Calculemos
para
. Primeiro
Derivando novamente,
Como no nosso intervalo
temos
, tanto
quanto
são funções crescentes, logo o produto é crescente em
. Portanto o máximo ocorre em
:
Usando
,
Agora aplicamos a fórmula da cota com
,
,
:
Substituindo
:
Portanto uma cota para o erro absoluto é aproximadamente
. Observação didática: essa cota é uma garantia teórica — muitas vezes na prática o erro real é bem menor, mas a cota mostra que, com os dados que temos, não podemos garantir um erro menor que esse sem aumentar
.
Resposta
Valor aproximado da integral:
Limitante do erro:
Limitante do erro: