(2,0) Encontre o trabalho realizado pelo campo de forças \vec{F}(x, y)=(x-y) \vec{\imath}+x \vec{\jmath} para mover uma partícula que percorre uma curva \gamma descrita pelo arco da parábola y^{2}=x, do ponto (9,3) a (1,-1).

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o trabalho realizado pelo campo de forças \vec{F}(x,y) = (x-y)\,\vec{\imath} + x\,\vec{\jmath} quando uma partícula se move ao longo da curva \gamma dada pelo arco da parábola y^{2}=x do ponto (9,3) até o ponto (1,-1).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Campo de forças: \vec{F}(x,y) = (x-y)\,\vec{\imath} + x\,\vec{\jmath}.
  • Curva \gamma é o arco da parábola \;y^{2}=x\;.
  • Ponto inicial: (9,3). (Notei isso diretamente do enunciado.)
  • Ponto final: (1,-1). (Notei isso diretamente do enunciado.)
  • O movimento é do ponto (9,3) até (1,-1), ou seja, a orientação da curva vai de (9,3) para (1,-1).

Passo 2

Conceito que vamos usar (aula rápida): o trabalho realizado por um campo vetorial \vec{F} ao longo de uma curva orientada \gamma é a integral de linha
W=\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
Isto significa: parametrizamos a curva por \vec{r}(t), com t num intervalo [a,b] que respeite a orientação, calculamos \vec{r}'(t), avaliamos \vec{F} ao longo da curva como \vec{F}(\vec{r}(t)), e então integramos o produto escalar
W=\int_{a}^{b}\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}'(t)\,dt.
Cada símbolo:
  • \vec{r}(t) é a posição na curva quando o parâmetro vale t.
  • \vec{r}'(t) é a velocidade (derivada) em relação a t.
  • \vec{F}(\vec{r}(t)) é o campo avaliado na posição da partícula.
  • O produto escalar dá a componente da força ao longo do deslocamento infinitesimal.

Passo 3

Escolha de parametrização (explicando devagar): a curva é \;y^{2}=x\;. Uma parametrização natural é tomar y=t e então x=t^{2}. Assim
\vec{r}(t) = \big(t^{2},\,t\big).
Agora determinamos o intervalo de t que corresponde aos pontos dados:
  • Para o ponto inicial (9,3), temos t=3 (porque y=3 e x=3^{2}=9).
  • Para o ponto final (1,-1), temos t=-1 (porque y=-1 e x=(-1)^{2}=1).
    Como o movimento é de (9,3) para (1,-1), o parâmetro t varia de 3 até -1. Portanto o intervalo é t\in[3,-1]. (Sim, o limite superior é menor; a integral aceitará isso normalmente.)

Passo 4

Calculamos \vec{r}'(t) (derivada componente a componente):
\vec{r}'(t) = \big(2t,\,1\big).
Agora substituímos a parametrização na força \vec{F}. Lembrando \vec{F}(x,y)=(x-y,\,x), com x=t^{2} e y=t obtemos
\vec{F}(\vec{r}(t)) = \big(t^{2}-t,\; t^{2}\big).

Passo 5

Fazemos o produto escalar \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}'(t):
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}'(t) = (t^{2}-t)\cdot(2t) + (t^{2})\cdot(1).
Vamos simplificar termo a termo:
(t^{2}-t)(2t) = 2t^{3} - 2t^{2},
(t^{2})\cdot 1 = t^{2}.
Somando:
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}'(t) = 2t^{3} - 2t^{2} + t^{2} = 2t^{3} - t^{2}.

Passo 6

Agora montamos a integral do trabalho usando o intervalo t\in[3,-1]:
W=\int_{3}^{-1} \big(2t^{3}-t^{2}\big)\,dt.
Explico a técnica: para integrar um polinômio somamos integrais dos termos. A antiderivada de 2t^{3} é 2\cdot\frac{t^{4}}{4}=\frac{t^{4}}{2}. A antiderivada de -t^{2} é -\frac{t^{3}}{3}. Assim uma primitiva é
F(t)=\frac{t^{4}}{2}-\frac{t^{3}}{3}.

Passo 7

Avaliamos a primitiva entre t=3 e t=-1:
W = F(-1)-F(3).
Calculamos separadamente:
F(-1)=\frac{(-1)^{4}}{2}-\frac{(-1)^{3}}{3}=\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3+2}{6}=\frac{5}{6}.
F(3)=\frac{3^{4}}{2}-\frac{3^{3}}{3}=\frac{81}{2}-\frac{27}{3}=\frac{81}{2}-9=\frac{81-18}{2}=\frac{63}{2}.
Então
W=\frac{5}{6}-\frac{63}{2}.

Passo 8

Fazemos a subtração com denominador comum 6:
\frac{5}{6}-\frac{63}{2}=\frac{5}{6}-\frac{189}{6}=\frac{5-189}{6}=\frac{-184}{6}=-\frac{92}{3}.
Portanto o trabalho é -\dfrac{92}{3}.
Observação didática curta: poderíamos ter verificado se o campo fosse conservativo (o que permitiria usar uma função potencial e avaliar apenas a diferença nos extremos), verificando \partial P/\partial y versus \partial Q/\partial x. Aqui P(x,y)=x-y e Q(x,y)=x, temos \partial P/\partial y=-1 e \partial Q/\partial x=1, são diferentes, então o campo não é conservativo e a integral depende do caminho — daí a necessidade de parametrizar e integrar.

Resposta

-\dfrac{92}{3}

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