(2,0) Encontre o trabalho realizado pelo campo de forças
para mover uma partícula que percorre uma curva
descrita pelo arco da parábola
, do ponto
a
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o trabalho realizado pelo campo de forças
quando uma partícula se move ao longo da curva
dada pelo arco da parábola
do ponto
até o ponto
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- Campo de forças:
- Curva
é o arco da parábola - Ponto inicial:
. (Notei isso diretamente do enunciado.) - Ponto final:
. (Notei isso diretamente do enunciado.) - O movimento é do ponto
até , ou seja, a orientação da curva vai de para .
Passo 2
Conceito que vamos usar (aula rápida): o trabalho realizado por um campo vetorial
ao longo de uma curva orientada
é a integral de linha
Isto significa: parametrizamos a curva por
, com
num intervalo
que respeite a orientação, calculamos
, avaliamos
ao longo da curva como
, e então integramos o produto escalar
Cada símbolo:
-
é a posição na curva quando o parâmetro vale . -
é a velocidade (derivada) em relação a . -
é o campo avaliado na posição da partícula. - O produto escalar dá a componente da força ao longo do deslocamento infinitesimal.
Passo 3
Escolha de parametrização (explicando devagar): a curva é
. Uma parametrização natural é tomar
e então
. Assim
Agora determinamos o intervalo de
que corresponde aos pontos dados:
- Para o ponto inicial
, temos (porque e ). - Para o ponto final
, temos (porque e ).
Como o movimento é depara , o parâmetro varia de até . Portanto o intervalo é . (Sim, o limite superior é menor; a integral aceitará isso normalmente.)
Passo 4
Calculamos
(derivada componente a componente):
Agora substituímos a parametrização na força
. Lembrando
, com
e
obtemos
Passo 5
Fazemos o produto escalar
:
Vamos simplificar termo a termo:
Somando:
Passo 6
Agora montamos a integral do trabalho usando o intervalo
:
Explico a técnica: para integrar um polinômio somamos integrais dos termos. A antiderivada de
é
. A antiderivada de
é
. Assim uma primitiva é
Passo 7
Avaliamos a primitiva entre
e
:
Calculamos separadamente:
Então
Passo 8
Fazemos a subtração com denominador comum
:
Portanto o trabalho é
.
Observação didática curta: poderíamos ter verificado se o campo fosse conservativo (o que permitiria usar uma função potencial e avaliar apenas a diferença nos extremos), verificando
versus
. Aqui
e
, temos
e
, são diferentes, então o campo não é conservativo e a integral depende do caminho — daí a necessidade de parametrizar e integrar.