Dada a funçao y=f(x) definida através da tabela:
x 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
\mathrm{f}(\mathrm{x}) 0.099 0.131 0.163 0.194 0.224 0.253 0.281
Calcular: \int_{1.0}^{1.6} f(x) d x aplicando:
regra de Simpson. 3/8

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{1,0}^{1,6} f(x)\,dx
usando a regra de Simpson 3/8 (composta), e fornece os valores de f(x) na tabela abaixo:
\begin{array}{c|ccccccc} x & 1,0 & 1,1 & 1,2 & 1,3 & 1,4 & 1,5 & 1,6\\hline f(x) & 0,099 & 0,131 & 0,163 & 0,194 & 0,224 & 0,253 & 0,281 \end{array}
Informações relevantes que o enunciado dá e que vou usar:
\text{intervalo: }[1,0,\,1,6],\quad \text{valores de }f\text{ em }7\text{ pontos }x_0,\dots,x_6.

Passo 2

Vou aplicar a regra composta de Simpson 3/8 porque o enunciado pede explicitamente ela. Agora explico a fórmula e o significado de cada símbolo, devagarinho.
  • Dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos de comprimento h. Aqui a=1,0 e b=1,6.
  • A regra composta de Simpson 3/8 exige que n seja múltiplo de 3. A fórmula geral (composta) é:
\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{3h}{8}\Big(f(x_0)+f(x_n)+3\sum_{\substack{i=1\\\ i\not\equiv 0\\ (\mathrm{mod}\\\ 3)}}^{n-1} f(x_i)+2\sum_{\substack{i=3\\\ i\equiv 0\\ (\mathrm{mod}\\\ 3)}}^{n-3} f(x_i)\Big).
Explicando: h é o comprimento de cada subintervalo; x_0=a e x_n=b; os pontos internos têm coeficientes que seguem o padrão 3,3,2,3,3,2,\dots quando combinamos blocos de 3 subintervalos. Na prática computamos os coeficientes para cada f(x_i) conforme este padrão.

Passo 3

Calculo h e n.
n=\frac{b-a}{h_{\text{verificação}}}=\text{(será obtido a partir da tabela)}.çãá
Pela tabela os pontos são equidistantes: 1,0,1,1,1,2,\dots,1,6, logo a diferença entre pontos consecutivos é
h=1,1-1,0=0,1.
O número de subintervalos é
n=\frac{1,6-1,0}{0,1}=6,
que é múltiplo de 3, então podemos aplicar a regra composta de Simpson 3/8 corretamente.

Passo 4

Indexo os pontos como x_0=1,0,\;x_1=1,1,\;\dots,\;x_6=1,6 e associo os valores de f:
\begin{aligned} f(x_0)&=f_0=0,099,\\\ f(x_1)&=f_1=0,131,\\\ f(x_2)&=f_2=0,163,\\\ f(x_3)&=f_3=0,194,\\\ f(x_4)&=f_4=0,224,\\\ f(x_5)&=f_5=0,253,\\\ f(x_6)&=f_6=0,281. \end{aligned}

Passo 5

Agora monto a soma ponderada conforme a fórmula composta. Para n=6 os coeficientes ficam: 1 para f_0 e f_6; 3 para f_1,f_2,f_4,f_5; 2 para f_3. Assim dentro dos colchetes temos:
S=f_0+f_6+3(f_1+f_2+f_4+f_5)+2f_3.
Substituo os números (vou mostrar as somas passo a passo):
f_0+f_6=0,099+0,281=0,380.
f_1+f_2+f_4+f_5=0,131+0,163+0,224+0,253.
Calculo em duas parcelas:
0,131+0,163=0,294,\quad 0,224+0,253=0,477,
0,294+0,477=0,771.
Multiplicando por 3:
3\cdot 0,771=2,313.
E
2f_3=2\cdot 0,194=0,388.
Agora somo tudo:
S=0,380+2,313+0,388=3,081.

Passo 6

Aplico o fator \dfrac{3h}{8}. Lembrando que h=0,1:
\frac{3h}{8}=\frac{3\cdot 0,1}{8}=\frac{0,3}{8}=0,0375.
Portanto a integral aproximada é
\int_{1,0}^{1,6} f(x)\,dx \approx \frac{3h}{8}\,S=0,0375\times 3,081.
Faço a multiplicação:
0,0375\times 3,081=0,1155375.
Arredondando razoavelmente (os dados originais têm 3 casas decimais), podemos escrever o resultado com 5 casas decimais:
\int_{1,0}^{1,6} f(x)\,dx \approx 0,11554.
Bom trabalho! Você conseguiu seguir a regra composta de Simpson 3/8 passo a passo — método que é ótimo quando os pontos estão igualmente espaçados e n é múltiplo de 3.

Resposta

0,11554

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