Aplicar o teorema de Green ao cálculo da integral curvilínea:
ointC(x+y) d x+(x^2+y) d y
C é a fronteira da região entre os círculos x^2+y^2=1 e x^2+y^2=9

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral é , e é a fronteira da região entre os círculos e . O Teorema de Green nos ajuda a transformar essa integral de contorno em uma integral dupla sobre a região dentro de . Para isso, precisamos identificar as funções e da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA e na integral. Aqui, e . O Teorema de Green diz que:
onde é a região delimitada por .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro, partial Qpartial x = partialpartial x (x^2 + y) = 2x :
partial Ppartial y = partialpartial y (x + y) = 1
Em seguida, :

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green, temos:
integral duplaD (2x - 1) , dA
Agora, precisamos calcular essa integral dupla sobre a região , que está entre os círculos de raio 1 e 3 (já que e ).

Passo 5

Para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares, onde e . A região fica entre e , e vai de 0 a . O elemento de área em coordenadas polares é .

Passo 6

Expressando a função 2x - 1 = 2r cos theta - 1 em coordenadas polares:
integral0^2pi integral1^3 (2r cos theta - 1) cdot r , dr , dtheta = integral0^2pi integral1^3 (2r^2 cos theta - r) , dr , dtheta
Agora, a integral dupla fica:

Passo 7

Vamos integrar em relação a integral1^3 (2r^2 cos theta - r) , dr = 2cos theta [ r^33 ]1^3 - [ r^22 ]1^3 primeiro:
2cos theta ( 273 - 13 ) - ( 92 - 12 ) = 2cos theta ( 263 ) - 82 = 523 cos theta - 4
Calculando:

Passo 8

Agora, vamos integrar isso em relação a integral0^2pi ( 523 cos theta - 4 ) dtheta = 523 integral0^2pi cos theta , dtheta - 4 integral0^2pi dtheta :
0 - 4 cdot 2pi = -8pi
Sabemos que e , então:

Resposta

A integral curvilínea vale .

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