Aplicar o teorema de Green ao cálculo da integral curvilínea:
C é a fronteira da região entre os círculos
e
C é a fronteira da região entre os círculos
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral é
, e
é a fronteira da região entre os círculos
e
. O Teorema de Green nos ajuda a transformar essa integral de contorno em uma integral dupla sobre a região dentro de
. Para isso, precisamos identificar as funções
e
da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar
e
na integral. Aqui,
e
. O Teorema de Green diz que:
onde
é a região delimitada por
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro,
:
Em seguida,
:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green, temos:
Agora, precisamos calcular essa integral dupla sobre a região
, que está entre os círculos de raio 1 e 3 (já que
e
).
Passo 5
Para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares, onde
e
. A região
fica entre
e
, e
vai de 0 a
. O elemento de área
em coordenadas polares é
.
Passo 6
Expressando a função
em coordenadas polares:
Agora, a integral dupla fica:
Passo 7
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Calculando:
Passo 8
Agora, vamos integrar isso em relação a
:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
A integral curvilínea vale
.