Mostre que lim P P0 f(x, y) não existe se:
(20.5) f(x, y)=x^2-y^2x^4+y^4 e P0(0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o limite lim P P0 f(x, y) não existe, onde f(x, y) = x^2-y^2x^4+y^4 e P0(0,0). Vamos trabalhar com limites em funções de duas variáveis, usando caminhos diferentes para ver se obtemos resultados diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que o limite não existe. Em funções de duas variáveis, se ao chegar ao ponto P0 seguindo diferentes caminhos a gente obtiver valores diferentes, então o limite não existe.

Passo 3

Vamos escolher dois caminhos simples para chegar em P0(0,0): um onde y = 0 e outro onde y = x.

Passo 4

Caminho 1: y = 0
Substituindo y = 0 na função:
f(x, 0) = x^2-0^2x^4+0^4 = x^2x^4 = 1x^2
Agora, vamos calcular o limite quando x 0:
limx to 0 1x^2 = +infty
Então, pelo caminho y = 0, o limite tende ao infinito.

Passo 5

Caminho 2: y = x
Substituindo y = x na função:
f(x, x) = x^2-x^2x^4+x^4 = 02x^4 = 0
Agora, vamos calcular o limite quando x 0:
limx to 0 0 = 0
Então, pelo caminho y = x, o limite é 0.

Passo 6

Como vimos, seguindo y = 0, o limite é +infty, e seguindo y = x, o limite é 0. Como os resultados são diferentes dependendo do caminho escolhido, podemos concluir que o limite não existe.

Resposta

O limite lim (x, y) (0,0) x^2-y^2x^4+y^4 não existe.

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