Mostre que
não existe se:
(20.5)
e
.
(20.5)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o limite
não existe, onde
e
. Vamos trabalhar com limites em funções de duas variáveis, usando caminhos diferentes para ver se obtemos resultados diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que o limite não existe. Em funções de duas variáveis, se ao chegar ao ponto
seguindo diferentes caminhos a gente obtiver valores diferentes, então o limite não existe.
Passo 3
Vamos escolher dois caminhos simples para chegar em
: um onde
e outro onde
.
Passo 4
Caminho 1:
Substituindo na função:
Substituindo
Agora, vamos calcular o limite quando
:
Então, pelo caminho
, o limite tende ao infinito.
Passo 5
Caminho 2:
Substituindo na função:
Substituindo
Agora, vamos calcular o limite quando
:
Então, pelo caminho
, o limite é 0.
Passo 6
Como vimos, seguindo
, o limite é
, e seguindo
, o limite é 0. Como os resultados são diferentes dependendo do caminho escolhido, podemos concluir que o limite não existe.
Resposta
O limite
não existe.