Descreva as curvas de nível da cada função:
(19.3) f(x, y)=ln (x y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa descrever as curvas de nível da função $ f(x, y) = \ln(xy) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente sobre curvas de nível, que nos ajudam a visualizar como a função se comporta em diferentes pontos do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são os conjuntos de pontos (x, y) onde a função assume um valor constante. Ou seja, para um valor constante $ c $, a equação $ f(x, y) = c $ nos dá a curva de nível correspondente a $ c $.

Passo 3

Vamos aplicar isso à função dada. Queremos encontrar as curvas onde $ \ln(xy) = c $. Para encontrar a forma dessas curvas, vamos resolver essa equação para $ y $ em função de $ x $.

Passo 4

Começamos exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
e^ln(xy) = e^c
Isso simplifica para:
xy = e^c
Agora, isolando $ y $:
y
Essa é a equação de uma hipérbole, onde $ e^{c} $ é uma constante que depende do valor de $ c $.

Passo 5

Então, cada curva de nível da função $ f(x, y) = \ln(xy) $ é uma hipérbole da forma $ xy = constante $. Isso significa que, para diferentes valores de $ c $, teremos diferentes hipérboles no plano $ xy $.

Resposta

As curvas de nível da função $ f(x, y) = \ln(xy) $ são hipérboles da forma $ xy = e^{c} $, onde $ c $ é uma constante real.

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