Aplicar o teorema de Green ao cálculo da integral curvilínea:
C é o cardióide
C é o cardióide
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral de linha
onde
é uma cardioide dada por
. A gente vai usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas sobre a região encerrada por
. Para aplicar o teorema, precisamos identificar as funções
e
, e então calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teorema de Green. Ele diz que:
Aqui,
é a região dentro da curva
. Então, precisamos calcular
e
.
Passo 3
Vamos calcular
:
E agora
:
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
Passo 4
Agora, precisamos configurar a integral dupla
. Como a curva
é uma cardioide dada em coordenadas polares, faz sentido mudar para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares,
e
.
Passo 5
Vamos então expressar a integral dupla em coordenadas polares:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em
:
Então, a integral se torna:
Passo 7
Vamos simplificar a constante:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar
, então
. Quando
,
; quando
,
.
Passo 8
Com a substituição, a integral fica:
Porque os limites são iguais, a integral é zero.
Resposta
A integral curvilínea vale 0.