Aplicar o teorema de Green ao cálculo da integral curvilínea:
ointC(x^4+4) d x+(x y) d y
C é o cardióide r=1+cos theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral de linha onde é uma cardioide dada por . A gente vai usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas sobre a região encerrada por . Para aplicar o teorema, precisamos identificar as funções e , e então calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teorema de Green. Ele diz que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA
Aqui, é a região dentro da curva . Então, precisamos calcular e .

Passo 3

Vamos calcular Q = x y implies partial Qpartial x = y :
P = x^4 + 4 implies partial Ppartial y = 0
E agora partial Qpartial x - partial Ppartial y = y - 0 = y :
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:

Passo 4

Agora, precisamos configurar a integral dupla . Como a curva é uma cardioide dada em coordenadas polares, faz sentido mudar para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares, e .

Passo 5

Vamos então expressar a integral dupla em coordenadas polares:
integral duplaD y , dA = integral0^2pi integral0^1 + cos theta (r sin theta) cdot r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^1 + cos theta r^2 sin theta , dr , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em integral0^1 + cos theta r^2 , dr = [ r^33 ]0^1 + cos theta = (1 + cos theta)^33 :
integral0^2pi (1 + cos theta)^33 sin theta , dtheta
Então, a integral se torna:

Passo 7

Vamos simplificar a constante:
13 integral0^2pi (1 + cos theta)^3 sin theta , dtheta
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar , então . Quando , ; quando , .

Passo 8

Com a substituição, a integral fica:
13 integral2^2 u^3 (-du) = 13 integral2^2 -u^3 , du = 0
Porque os limites são iguais, a integral é zero.

Resposta

A integral curvilínea vale 0.

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