Calcular o comprimento de arco das seguintes curvas dadas em coordenadas polares:
(14.1) a espiral r=theta^2, 0 <= theta <= raiz3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o comprimento de arco da espiral definida por $ r = \theta^{2} $ no intervalo de $ 0 \leq \theta \leq \sqrt{3} $. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica em coordenadas polares e a fórmula do comprimento de arco para curvas polares.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco em coordenadas polares. A fórmula é:
L = integrala^b raizr(theta)^2 + ( drdtheta )^2 , dtheta
Aqui, $ r(\theta) $ é a função que define a curva, e $ \frac{dr}{d\theta} $ é a derivada dessa função em relação a $ \theta $.

Passo 3

Vamos identificar os valores que vamos usar na fórmula. No nosso caso:
r(theta) = theta^2
E o intervalo de integração é de $ a = 0 $ até $ b = \sqrt{3} $.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de $ r(\theta) $ em relação a $ \theta $:
r(theta)

Passo 5

Substituindo $ r(\theta) $ e $ \frac{dr}{d\theta} $ na fórmula do comprimento de arco, temos:
r(theta)
Simplificando dentro da raiz:
drdtheta

Passo 6

Vamos fatorar $ \theta^{2} $ dentro da raiz para simplificar a expressão:
theta^2
Então, a integral fica:
raiztheta^4 + 4theta^2 = raiztheta^2 (theta^2 + 4) = theta raiztheta^2 + 4

Passo 7

Para resolver essa integral, vamos usar a substituição. Seja:
u = theta^2 + 4 Rightarrow dudtheta = 2theta Rightarrow dtheta = du2theta
Substituindo na integral:
L = integral theta raizu cdot du2theta = 12 integral raizu , du

Passo 8

Agora, integramos $ \sqrt{u} $:
raizu
Voltando para $ \theta $:
12 integral u^1/2 , du = 12 cdot 23 u^3/2 + C = 13 u^3/2 + C

Passo 9

Agora, vamos substituir os limites de integração:
Para $ \theta = \sqrt{3} $:
theta = raiz3
Para $ \theta = 0 $:
(raiz3)^2 + 4 = 3 + 4 = 7 Rightarrow 7^3/2 = 7 raiz7
Então:
theta = 0

Resposta

O comprimento do arco da espiral $ r = \theta^{2} $ no intervalo de $ 0 \leq \theta \leq \sqrt{3} $ é:
r = theta^2

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