Calcular o comprimento de arco das seguintes curvas dadas em coordenadas polares:
(14.1) a espiral
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(14.1) a espiral
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o comprimento de arco da espiral definida por $ r = \theta^{2} $ no intervalo de $ 0 \leq \theta \leq \sqrt{3} $. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica em coordenadas polares e a fórmula do comprimento de arco para curvas polares.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco em coordenadas polares. A fórmula é:
Aqui, $ r(\theta) $ é a função que define a curva, e $ \frac{dr}{d\theta} $ é a derivada dessa função em relação a $ \theta $.
Passo 3
Vamos identificar os valores que vamos usar na fórmula. No nosso caso:
E o intervalo de integração é de $ a = 0 $ até $ b = \sqrt{3} $.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de $ r(\theta) $ em relação a $ \theta $:
Passo 5
Substituindo $ r(\theta) $ e $ \frac{dr}{d\theta} $ na fórmula do comprimento de arco, temos:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 6
Vamos fatorar $ \theta^{2} $ dentro da raiz para simplificar a expressão:
Então, a integral fica:
Passo 7
Para resolver essa integral, vamos usar a substituição. Seja:
Substituindo na integral:
Passo 8
Agora, integramos $ \sqrt{u} $:
Voltando para $ \theta $:
Passo 9
Agora, vamos substituir os limites de integração:
Para $ \theta = \sqrt{3} $:
Para $ \theta = 0 $:
Então:
Resposta
O comprimento do arco da espiral $ r = \theta^{2} $ no intervalo de $ 0 \leq \theta \leq \sqrt{3} $ é: