Aplicar o teorema de Green ao cálculo da integral curvilínea:
C é o triângulo de vértices
.
C é o triângulo de vértices
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral curvilínea
ao longo do triângulo com vértices
. Vamos usar o teorema de Green para transformar essa integral de linha em uma integral dupla.
Passo 2
O teorema de Green afirma que, para uma curva
fechada e orientada positivamente limitando a região
, vale
Passo 3
Identificamos
e
. Calculando as derivadas parciais, temos
e
.
Passo 4
Substituindo no integrando do teorema de Green,
logo
Passo 5
Precisamos descrever a região
, que é o triângulo com vértices
,
e
. As arestas do triângulo são dadas por
Para montar o integral duplo, dividimos
Passo 6
Na primeira faixa, para
,
varia de
até
. Assim a contribuição é
Passo 7
Na segunda faixa, para
,
varia de
até
. Isso gera
Passo 8
Calculando a primeira parte,
Passo 9
Calculando a segunda parte,
Passo 10
Somando as duas partes obtemos
Finalmente, pela fórmula de Green, a integral de linha é
Resposta
-3