Aplicar o teorema de Green ao cálculo da integral curvilínea:
ointC(x y) d x+sen(y) d y
C é o triângulo de vértices (1,1),(2,2),(3,0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral curvilínea ointC x y,dx + sin(y),dy ao longo do triângulo com vértices (1,1),(2,2),(3,0). Vamos usar o teorema de Green para transformar essa integral de linha em uma integral dupla.

Passo 2

O teorema de Green afirma que, para uma curva C fechada e orientada positivamente limitando a região D, vale
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA

Passo 3

Identificamos
P(x,y)=xy e Q(x,y)=sin(y). Calculando as derivadas parciais, temos partial Q/partial x = 0 e partial P/partial y = x.

Passo 4

Substituindo no integrando do teorema de Green,
partial Qpartial x - partial Ppartial y = -x,
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ointC xy,dx + sin(y),dy = integral duplaD (-x),dA = - integral duplaD x,dA

Passo 5

Precisamos descrever a região D, que é o triângulo com vértices (1,1), (2,2) e (3,0). As arestas do triângulo são dadas por
y = x,
y = 32 - x2,
y = 6 - 2x
Para montar o integral duplo, dividimos D em duas faixas de x: de 1 a 2 e de 2 a 3.

Passo 6

Na primeira faixa, para 1 <= x <= 2, y varia de y = 32 - x2 até y = x. Assim a contribuição é
integralx=1^2 integraly=32 - x2^y=x x,dy,dx

Passo 7

Na segunda faixa, para 2 <= x <= 3, y varia de y = 32 - x2 até y = 6 - 2x. Isso gera
integralx=2^3 integraly=32 - x2^y=6 - 2x x,dy,dx

Passo 8

Calculando a primeira parte,
integral1^2 xl(x - (tfrac32 - tfracx2)r),dx = integral1^2 l(tfrac32x^2 - tfrac32xr),dx = l[tfrac12x^3 - tfrac34x^2r]1^2 = tfrac54

Passo 9

Calculando a segunda parte,
integral2^3 xl((6 - 2x) - (tfrac32 - tfracx2)r),dx = integral2^3 (4.5x - 1.5x^2),dx = l[2.25x^2 - tfrac12x^3r]2^3 = tfrac74

Passo 10

Somando as duas partes obtemos
integral duplaD x,dA = tfrac54 + tfrac74 = 3
Finalmente, pela fórmula de Green, a integral de linha é
ointC xy,dx + sin(y),dy = -3

Resposta

-3

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