Aplicar o teorema de Green ao cálculo da integral curvilínea:
ointC(x^2+y^2) d x+(x y^2) d y
C é a curva fechada definida por y=x^2 e y=-x, 0 <= x <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green. O que ele faz é transformar uma integral de linha (que é ao longo de uma curva fechada) em uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. Para isso, precisamos identificar as funções envolvidas na integral e entender a região C que estamos integrando.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções P(x, y) = x^2 + y^2 e Q(x, y) = x y^2 na integral dada:

Passo 3

O Teorema de Green nos diz que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Então, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a .

Passo 4

Calculando as derivadas:
partial Qpartial x = partialpartial x (x y^2) = y^2
partial Ppartial y = partialpartial y (x^2 + y^2) = 2y

Passo 5

Substituindo na expressão do Teorema de Green:
integral duplaD ( y^2 - 2y ) dA
Agora, precisamos definir os limites de integração para a região D.

Passo 6

A curva C é formada por duas partes: e para . Vamos desenhar essas curvas para entender melhor a região D.

Passo 7

Encontramos o ponto de interseção das curvas x^2 = -x e x^2 + x = 0 :
x(x + 1) = 0
Então, ou . Mas como , o ponto de interseção relevante é .

Passo 8

Portanto, a região D está limitada entre e para . Vamos integrar em termos de x, de 0 a 1, e para cada x, y varia de a .

Passo 9

Agora, configuramos a integral dupla:
integral0^1 integral-x^x^2 (y^2 - 2y) , dy , dx

Passo 10

Vamos primeiro integrar em relação a y:
integral-x^x^2 y^2 - 2y , dy = [ y^33 - y^2 ]-x^x^2
Calculando nos limites:
( (x^2)^33 - (x^2)^2 ) - ( (-x)^33 - (-x)^2 )
= ( x^63 - x^4 ) - ( -x^33 - x^2 )
= x^63 - x^4 + x^33 + x^2

Passo 11

Agora, integramos em relação a x de 0 a 1:
integral0^1 ( x^63 - x^4 + x^33 + x^2 ) dx
= [ x^721 - x^55 + x^412 + x^33 ]0^1
= ( 121 - 15 + 112 + 13 ) - 0

Passo 12

Calculando os valores:
121 - 15 + 112 + 13 = 121 - 4.221 + 1.7521 + 721
= 1 - 4.2 + 1.75 + 721
= 5.5521
approx 0,264

Resposta

O valor da integral curvilínea é aproximadamente .

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