Aplicar o teorema de Green ao cálculo da integral curvilínea:
C é a curva fechada definida por
e
C é a curva fechada definida por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green. O que ele faz é transformar uma integral de linha (que é ao longo de uma curva fechada) em uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. Para isso, precisamos identificar as funções envolvidas na integral e entender a região C que estamos integrando.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na integral dada:
Passo 3
O Teorema de Green nos diz que:
Então, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
.
Passo 4
Calculando as derivadas:
Passo 5
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
Agora, precisamos definir os limites de integração para a região D.
Passo 6
A curva C é formada por duas partes:
e
para
. Vamos desenhar essas curvas para entender melhor a região D.
Passo 7
Encontramos o ponto de interseção das curvas
e
:
Então,
ou
. Mas como
, o ponto de interseção relevante é
.
Passo 8
Portanto, a região D está limitada entre
e
para
. Vamos integrar em termos de x, de 0 a 1, e para cada x, y varia de
a
.
Passo 9
Agora, configuramos a integral dupla:
Passo 10
Vamos primeiro integrar em relação a y:
Calculando nos limites:
Passo 11
Agora, integramos em relação a x de 0 a 1:
Passo 12
Calculando os valores:
Resposta
O valor da integral curvilínea é aproximadamente
.