Aplicar a Transformada de Laplace
A equação diferencial é:
A equação diferencial é:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para resolver a equação diferencial $ y’’ + 9y = 18t $ usando a Transformada de Laplace. Também temos as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais ordinárias e a aplicação da Transformada de Laplace para resolver essas equações. Para isso, vamos precisar aplicar as propriedades da Transformada de Laplace, como a transformação de derivadas e a resolução de equações algébricas no domínio de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a Transformada de Laplace de $ y’’(t) $ é $ s^2 Y(s) - s y(0) - y’(0) $ e a de $ y(t) $ é $ Y(s) $. Nossa equação fica assim:
Passo 3
Agora, substituímos as condições iniciais na equação. Sabemos que $ y(0) = 0 $, mas precisamos de $ y’(0) $. No entanto, como a segunda condição é $ y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $, isso sugere que talvez estejamos lidando com um problema de valor inicial e de condição em um ponto diferente. Ainda assim, para seguir com a Transformada de Laplace, vamos assumir que $ y’(0) = 0 $:
Simplificando:
Passo 4
Agora, isolamos $ Y(s) $:
Para facilitar a inversão da Transformada de Laplace, vamos decompor essa fração em frações parciais.
Passo 5
Fazendo a decomposição em frações parciais, assumimos:
Multiplicando ambos os lados por $ s^2 (s^2 + 9) $ para eliminar os denominadores:
Expandindo e igualando os coeficientes:
Agrupando os termos:
Igualando os coeficientes de cada potência de $ s $:
Resolvendo o sistema:
De $ 9A = 0 $, temos $ A = 0 $.
Então, de $ A + C = 0 $, $ C = 0 $.
De $ 9B = 18 $, $ B = 2 $.
De $ B + D = 0 $, $ D = -2 $.
Passo 6
Substituindo os valores de $ A $, $ B $, $ C $ e $ D $ na decomposição:
Passo 7
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa para encontrar $ y(t) $:
Sabemos que $ \mathcal{L}^{-1} \left{ \frac{1}{s^2} \right} = t $ e $ \mathcal{L}^{-1} \left{ \frac{1}{s^2 + 9} \right} = \frac{1}{3} \sin(3t) $.
Substituindo:
Resposta
A solução da equação diferencial é $ y(t) = 2t - \frac{2}{3} \sin(3t) $.