Aplicar a Transformada de Laplace
A equação diferencial é:
y^prime prime+9 y=18 t, y(0)=0, y(pi2)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para resolver a equação diferencial $ y’’ + 9y = 18t $ usando a Transformada de Laplace. Também temos as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais ordinárias e a aplicação da Transformada de Laplace para resolver essas equações. Para isso, vamos precisar aplicar as propriedades da Transformada de Laplace, como a transformação de derivadas e a resolução de equações algébricas no domínio de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a Transformada de Laplace de $ y’’(t) $ é $ s^2 Y(s) - s y(0) - y’(0) $ e a de $ y(t) $ é $ Y(s) $. Nossa equação fica assim:
y''(t)

Passo 3

Agora, substituímos as condições iniciais na equação. Sabemos que $ y(0) = 0 $, mas precisamos de $ y’(0) $. No entanto, como a segunda condição é $ y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $, isso sugere que talvez estejamos lidando com um problema de valor inicial e de condição em um ponto diferente. Ainda assim, para seguir com a Transformada de Laplace, vamos assumir que $ y’(0) = 0 $:
y(0) = 0
Simplificando:
y'(0)

Passo 4

Agora, isolamos $ Y(s) $:
Y(s)
Para facilitar a inversão da Transformada de Laplace, vamos decompor essa fração em frações parciais.

Passo 5

Fazendo a decomposição em frações parciais, assumimos:
18s^2 (s^2 + 9) = As + Bs^2 + Cs + Ds^2 + 9
Multiplicando ambos os lados por $ s^2 (s^2 + 9) $ para eliminar os denominadores:
s^2 (s^2 + 9)
Expandindo e igualando os coeficientes:
18 = A s (s^2 + 9) + B (s^2 + 9) + (Cs + D) s^2
Agrupando os termos:
18 = A s^3 + 9A s + B s^2 + 9B + C s^3 + D s^2
Igualando os coeficientes de cada potência de $ s $:
18 = (A + C) s^3 + (B + D) s^2 + 9A s + 9B
Resolvendo o sistema:
De $ 9A = 0 $, temos $ A = 0 $.
Então, de $ A + C = 0 $, $ C = 0 $.
De $ 9B = 18 $, $ B = 2 $.
De $ B + D = 0 $, $ D = -2 $.

Passo 6

Substituindo os valores de $ A $, $ B $, $ C $ e $ D $ na decomposição:
A

Passo 7

Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa para encontrar $ y(t) $:
y(t)
Sabemos que $ \mathcal{L}^{-1} \left{ \frac{1}{s^2} \right} = t $ e $ \mathcal{L}^{-1} \left{ \frac{1}{s^2 + 9} \right} = \frac{1}{3} \sin(3t) $.
Substituindo:
y(t) = 2 cdot L^-1 1s^2 - 2 cdot L^-1 1s^2 + 9

Resposta

A solução da equação diferencial é $ y(t) = 2t - \frac{2}{3} \sin(3t) $.

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