Se aplicarmos determinada quantia durante oito meses, seu montante será de R$ 63.000,00. Se, porventura, referida aplicação durasse 13 meses, o montante seria de R$ 74.250,00. Diante desses dados, assinale a alternativa que apresenta a taxa mensal empregada:
(A) 2%.
(B) 3%.
© 4%.
(D) 5%. (E) 6%.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma aplicação financeira que, aplicada por 8 meses, rende um montante de R 63.000,00 Se a aplicação durar 13 meses, o montante sobe para Rçã 74.250,00. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a taxa de juros mensal que está sendo empregada nessa aplicação. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o cálculo de juros compostos, que é quando os juros são calculados sobre o valor inicial e também sobre os juros acumulados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula dos juros compostos. Ela é dada por:
M = P times (1 + i)^t
Onde:
  • $ M $ é o montante final,
  • $ P $ é o principal (o valor inicial investido),
  • $ i $ é a taxa de juros por período (neste caso, mensal),
  • $ t $ é o tempo de aplicação.
No nosso caso, temos duas situações com dois montantes diferentes, mas o principal e a taxa de juros são os mesmos. Vamos chamar de $ P $ o valor inicial investido e $ i $ a taxa de juros mensal que queremos encontrar.

Passo 3

Vamos montar as duas equações com base nas informações fornecidas:
Para 8 meses:
63.000 = P times (1 + i)^8
Para 13 meses:
74.250 = P times (1 + i)^13
Agora, queremos eliminar $ P $ dessas equações para encontrar $ i $. Podemos dividir a segunda equação pela primeira:
P
Simplificando, temos:
i
Calculando a fração:
74.25063.000 = P times (1 + i)^13P times (1 + i)^8

Passo 4

Agora, para encontrar $ i $, precisamos tirar a raiz quinta de 1,17857:
i
Calculando a raiz quinta:
1 + i = (1,17857)^15
Subtraindo 1 de ambos os lados:
1 + i approx 1,033
Arredondando, chegamos a aproximadamente 3%.

Resposta

A taxa mensal empregada é 3%. (B) 3%

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