Aplique a análise de estabilidade de von Neumann e verifique se o método numérico do Exercício 4
phij^n+1-phij^nDe<a t-alpha(-phij-2^n+16 phij-1^n-30 phij^n+16 phij+1^n-phij+2^n12 De<a x^2)=0
é estável.
Exercício 6

Passo 1

O enunciado pede para aplicar a análise de estabilidade de von Neumann ao esquema
phij^n+1-phij^nDe<a t -alpha, -phij-2^n+16phij-1^n-30phij^n+16phij+1^n-phij+2^n12,De<a x^2 =0
que é explícito em tempo (forward--Euler) e de quarta ordem em espaço. Para isso, vamos assumir um modo de Fourier e obter o fator de amplificação G, depois exigir lvert Grvert<=1.

Passo 2

Assumimos o ensaio de Fourier
phij^n=G^ne^i,xi j,
onde xi=k,De<a x. Substituindo no esquema obtemos
G-1De<a t -alpha, -e^-2ixi+16e^-ixi-30+16e^ixi-e^2ixi 12,De<a x^2 =0
de onde se isola
G=1+alpha,De<a t, underbrace-e^-2ixi+16e^-ixi-30+16e^ixi-e^2ixi 12,De<a x^2S(xi)

Passo 3

Para simplificar S(xi) usamos e^ixi+e^-ixi=2cosxi e e^2ixi+e^-2ixi=2cos2xi. Então
S(xi) =-2cos2xi+32cosxi-3012,De<a x^2 =32cosxi-2cos2xi-3012,De<a x^2
Usando cos2xi=2cos^2xi-1 chega--se a
S(xi) =-cos^2xi-8cosxi+73,De<a x^2 =-(cosxi-1)(cosxi-7)3,De<a x^2
Como cosxiin[-1,1] ambos fatores são <=0, seu produto é >=0 e S(xi)<=0 sempre.

Passo 4

O fator de amplificação fica
G(xi)=1+alpha,De<a t,S(xi) =1-underbracealphaDe<a tDe<a x^2nu, cos^2xi-8cosxi+73
Os valores extremos ocorrem em xi=0 (onde S=0, G=1) e xi=pi (onde S=-tfrac163De<a x^2, G=1-tfrac163nu). Para garantir lvert Grvert<=1 precisamos
1-163,nu>=-1 Longrightarrow nu=alpha,De<a tDe<a x^2<=38

Resposta

O método é condicionalmente estável sob a condição de passo de tempo
De<a t<=38,De<a x^2alpha

Exercícios relacionados