Calcule as derivadas das funções abaixo usando as regras de derivação:
f(x)=2 cos (x^2) cdot sen(2 x)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=2cosl(x^2r),sen(2x),
e pede a derivada f'(x).
Aqui vamos usar a regra do produto (produto de duas funções) e a regra da cadeia (derivada de uma função composta).

Passo 2

Separemos f(x) como o produto de
u(x)=2cosl(x^2r) e v(x)=sen(2x)
A regra do produto diz que
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)

Passo 3

Vamos calcular u'(x).
Temos u(x)=2cosl(x^2r). A constante 2 sai da derivada, e usamos cadeia em cos(x^2):
ddxcosl(x^2r) =-sinl(x^2r)cdotddx(x^2) =-sinl(x^2r)cdot 2x
Logo,
u'(x) =2l[-2x,sinl(x^2r)r] =-4x,sinl(x^2r)

Passo 4

Agora v'(x) para v(x)=sen(2x).
Também é cadeia:
ddxsen(2x) =cos(2x)cdotddx(2x) =cos(2x)cdot 2 =2cos(2x)
Portanto,
v'(x)=2cos(2x)

Passo 5

Substituindo na regra do produto:
f'(x) =u'(x),v(x)+u(x),v'(x) =(-4x,sin(x^2));sen(2x) +l[2cos(x^2)r];(2cos(2x))
Isso dá
f'(x)=-4x,sin(x^2),sen(2x) +4cos(x^2),cos(2x)

Resposta

f'(x)=-4x,sinl(x^2r),sen(2x) +4cosl(x^2r),cos(2x)

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