Aplique a análise de Fourier ao esquema explícito
phij^n+1-phij^nDe<a t+u(phij^n-phij-1^nDe<a x)-alpha(phij-1^n-2 phij^n+phij+1^nDe<a x^2)=0
oriundo da discretização da equação de transporte unidimensional.
Exercício 10

Passo 1

O enunciado pede para aplicar a análise de Fourier (Von Neumann) ao esquema explícito
phij^n+1-phij^nDe<a t +uphij^n-phij-1^nDe<a x -alphaphij-1^n-2phij^n+phij+1^nDe<a x^2=0
que discretiza a equação de transporte unidimensional. Vamos precisar usar o modo de Fourier para obter o fator de amplificação e daí extrair a condição de estabilidade em termos do número de Courant e do número de difusão.

Passo 2

Assumimos o modo de Fourier típico
phij^n=G^ne^i k jDe<a x,
onde G é o fator de amplificação, k o número de onda e jDe<a x a posição espacial. Substituímos essa expressão no esquema e dividimos por G^ne^i k jDe<a x.

Passo 3

Substituindo, obtemos
G =1 - underbraceuDe<a tDe<a xsigmal(1-e^-ithetar) +underbracealphaDe<a tDe<a x^2mul(e^-itheta-2+e^ithetar),
onde definimos theta=kDe<a x, sigma=uDe<a t/De<a x (número de Courant) e mu=alphaDe<a t/De<a x^2 (número de difusão).

Passo 4

Usando e^itheta+e^-itheta=2costheta e e^-itheta-2+e^itheta=2(costheta-1), reescrevemos
G =1-sigma+ sigma e^-itheta +mul(2costheta-2r) =1-sigma-2mu+(sigma+2mu)costheta - i,sigmasintheta

Passo 5

Separamos a parte real A e imaginária B de G:
A=1-sigma-2mu+(sigma+2mu)costheta, B=-sigmasintheta

Passo 6

O módulo ao quadrado é
|G|^2=A^2+B^2
Para estabilidade Von Neumann precisamos de |G|<=1 para todo theta, ou seja
A^2+B^2<=1forall,thetain[0,pi]

Passo 7

Verificando o caso mais restritivo em theta=pi (que torna costheta=-1 e sintheta=0), exige-se
|,1-2sigma-4mu,|<=1 Longrightarrow sigma+2mu<=1
Pode-se mostrar que essa condição é suficiente para todos os theta.

Resposta

A condição de estabilidade é
u,De<a tDe<a x+2,alpha,De<a tDe<a x^2<=1

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