Determine o domínio, imagem, período e esboce o gráfico das funções abaixo:
g(x)=-3+2 cos (x)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a função
g(x) = -3 + 2cos(x)
determinando seu domínio, imagem, período e apresentando um esboço do gráfico. O assunto é análise de funções trigonométricas: vamos usar que a função cos(x) está definida em todos os reais, tem amplitude 1, período 2pi e varia entre -1 e 1.

Passo 2

Para achar o domínio, lembramos que não há restrição em cos(x): o cosseno está definido para todo xinR. Logo
Domínio(g)=R í

Passo 3

A forma geral é g(x)=A + Bcos(x) com A=-3 e B=2. A amplitude de cos(x) é 1, então a amplitude de g(x) é lvert Brvert=2. O período do cosseno é 2pi, e a adição de constantes não o altera, portanto o período de g também é
T=2pi

Passo 4

Para obter a imagem, lembramos que cos(x) varia em [-1,1]. Multiplicando por 2 a gente obtém [-2,2] e depois somando -3 deslocamos esse intervalo para
[-2-3,;2-3]=[-5,,-1]
Logo
Ima>=m(g)=[-5,-1]

Passo 5

Esboço do gráfico em um período típico [0,2pi]:
Em x=0, cos(0)=1 então g(0)=-3+2cdot1=-1.
Em x=tfracpi2, cos(tfracpi2)=0 então g(tfracpi2)=-3.
Em x=pi, cos(pi)=-1 então g(pi)=-3+2cdot(-1)=-5.
Em x=tfrac3pi2, cos(tfrac3pi2)=0 então g(tfrac3pi2)=-3.
Em x=2pi, retorna ao valor -1.
O gráfico é uma “onda” senoidal com ponto máximo -1, ponto mínimo -5, simétrica em relação à reta y=-3, repetindo a cada 2pi.

Resposta

Domínio: R
Imagem: [-5,-1]
Período: 2pi
Esboço: senóide de amplitude 2 centrada em y=-3, indo de -1 (máximo) a -5 (mínimo) a cada 2pi.

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