Aplique a análise de Fourier ao esquema totalmente implícito
utilizado na discretização da equação de transporte unidimensional.
Exercício 11
Passo 1
O enunciado pede para aplicar a análise de Fourier ao esquema totalmente implícito de Euler para a equação de transporte-difusão unidimensional
O objetivo é obter o fator de amplificação
e verificar a estabilidade do esquema. Vamos usar o método de Fourier, assumindo modos da forma
.
Passo 2
Assumimos
logo
e
e
Passo 3
Substituindo essas expressões no esquema e dividindo ambos os lados por
, obtemos
Passo 4
Definindo os números adimensionalizados
a equação fica
Passo 5
Isolando
, temos
O módulo desse fator de amplificação é
Passo 6
Observamos que para todo
vale
e
, logo o denominador da expressão de
é sempre maior ou igual a 1. Assim
ou seja, o esquema totalmente implícito é incondicionalmente estável.
Resposta
Amplificação
com
,
.
Estabilidade: o esquema é incondicionalmente estável ( para todo
).
Estabilidade: o esquema é incondicionalmente estável (