Aplique a análise de Fourier ao esquema totalmente implícito
phij^n+1-phij^nDe<a t+u(phij+1^n+1-phij-1^n+12 De<a x)-alpha(phij-1^n+1-2 phij^n+1+phij+1^n+1De<a x^2)=0
utilizado na discretização da equação de transporte unidimensional.
Exercício 11

Passo 1

O enunciado pede para aplicar a análise de Fourier ao esquema totalmente implícito de Euler para a equação de transporte-difusão unidimensional
phij^n+1-phij^nDe<a t +uphij+1^n+1-phij-1^n+12De<a x -alphaphij-1^n+1-2phij^n+1+phij+1^n+1De<a x^2 =0
O objetivo é obter o fator de amplificação G e verificar a estabilidade do esquema. Vamos usar o método de Fourier, assumindo modos da forma phij^n=G^ne^i k j De<a x.

Passo 2

Assumimos
phij^n=G^ne^itheta j, theta = k,De<a x,
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phij^n+1=G^n+1e^itheta j=G,phij^n
e
phijpm1^n+1=G,e^itheta(jpm1)G^ne^itheta j=G,phij^ne^pm itheta

Passo 3

Substituindo essas expressões no esquema e dividindo ambos os lados por phij^n=G^ne^itheta j, obtemos
G-1De<a t +uG(e^itheta-e^-itheta)2De<a x -alphaG(e^-itheta-2+e^itheta)De<a x^2 =0

Passo 4

Definindo os números adimensionalizados
lambda=u,De<a t2,De<a x, mu=alpha,De<a tDe<a x^2,
a equação fica
G-1De<a t +G2isintheta2De<a x,u -Ge^itheta-2+e^-ithetaDe<a x^2,alpha =0 ;Longrightarrow; Gl(1+2ilambdasintheta+2mu(1-costheta)r)=1

Passo 5

Isolando G, temos
G=11+2ilambdasintheta+2mu(1-costheta)
O módulo desse fator de amplificação é
|G| =1raizl(1+2mu(1-costheta)r)^2+ l(2lambdasinthetar)^2,

Passo 6

Observamos que para todo theta vale 1+2mu(1-costheta)>=1 e (2lambdasintheta)^2>=0, logo o denominador da expressão de |G| é sempre maior ou igual a 1. Assim
|G|<=1forall,theta,
ou seja, o esquema totalmente implícito é incondicionalmente estável.

Resposta

Amplificação
G=11+2ilambdasintheta+2mu(1-costheta),
com lambda=u,De<a t2De<a x, mu=alpha,De<a tDe<a x^2.
Estabilidade: o esquema é incondicionalmente estável ( |G|<=1 para todo theta).

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