Determine o domínio, imagem, período e esboce o gráfico das funções abaixo:
h(x)=cotg(x-pi4)

Passo 1

O enunciado pede domínio, imagem, período e esboço de
h(x)=cot!l(x-pi4r)
O conteúdo é trigonometria: propriedades da cotangente, deslocamento horizontal e periodicidade.

Passo 2

Domínio: a função cot(u) é indefinida quando sin(u)=0. Aqui u=x-tfracpi4, então
sinl(x-tfracpi4r)=0Longrightarrow x-tfracpi4=kpi,;kinZ
Logo
Domínio=Rsetminuslkpi+tfracpi4mid kinZr í

Passo 3

Imagem: a cotangente varia de +infty a -infty em cada ramo contínuo. Portanto
Ima>=m=R

Passo 4

Período: cot(u) tem período pi. Como o argumento é x-tfracpi4, o período em x permanece
Período=pi í

Passo 5

Esboço do gráfico: as assíntotas verticais ficam em
x=tfracpi4+kpi, kinZ
Em cada intervalo
l(tfracpi4+kpi,;tfracpi4+(k+1)pir)
a curva decresce de +infty a -infty. Por exemplo, no intervalo l(tfracpi4,tfrac5pi4r):
quando xtotfracpi4^+, h(x)to+infty;
quando xtotfrac5pi4^-, h(x)to-infty;
há zero em x tal que x-tfracpi4=tfracpi2, isto é x=tfrac3pi4;
além disso hl(tfracpi2r)=1 e h(pi)=-1.
Esse padrão se repete a cada pi.

Resposta

Domínio: Rsetminuskpi+tfracpi4mid kinZ
Imagem: R
Período: pi
Gráfico: assíntotas verticais em x=tfracpi4+kpi, curvas decrescentes de +infty a -infty em cada período, cruzando o eixo x em x=tfrac3pi4+kpi.

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