lim x +infty(1+2x^2)^x^2=
(A) +infty
(B) 1
(C) e^5
(D) e^2
(E) NRA

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto+inftyl(1+2x^2r)^x^2
Este é um caso clássico de limite na forma indeterminada 1^infty, e vamos usar a técnica de reescrever a expressão como uma exponencial, explorando a definição de e via logaritmo.

Passo 2

Definimos
L = limxto+inftyl(1+2x^2r)^x^2
Usamos a identidade
a^b = expl(bln(a)r),
para reescrever
L = exp!l(limxto+inftyx^2,lnl(1+2x^2r)r)

Passo 3

Focamos no limite do expoente
I = limxto+inftyx^2,lnl(1+2x^2r)
Como 2x^2to0, usamos a expansão
ln(1+u)=u+o(u)(quando uto0)
Aqui u=2/x^2, logo
lnl(1+2x^2r) =2x^2+ol(1x^2r)
Multiplicando por x^2
I = limxto+inftyl(2 + o(1)r) = 2

Passo 4

Substituindo de volta em L, obtemos
L = expl(Ir) = exp(2) = e^2

Resposta

(D) e^2

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