Aplique conceitos do cálculo diferencial para estimar raiz16,1+raiz81,18.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar conceitos do cálculo diferencial para estimar o valor de raiz16,1 + raiz81,18. Isso envolve trabalhar com funções quadráticas e suas aproximações usando derivadas. Para resolver, vamos precisar entender como pequenas variações nos números dentro das raízes afetam o resultado final e usar a derivada para fazer uma estimativa rápida.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a expressão interna: raiz81,18. Sabemos que raiz81 = 9, então 81,18 está bem perto de 81. Vamos chamar x = 81 e De. Queremos estimar raizx + De.

Passo 3

Para estimar raizx + De, usamos a aproximação linear da função f(x) = raizx perto de x = 81. A fórmula da aproximação é:
f(x + De
Aqui, f(x) = raizx e f'(x) é a derivada de f(x).

Passo 4

Vamos calcular a derivada f'(x). Sabemos que:
f'(x) = ddx raizx = 12raizx
No ponto x = 81:
f'(81) = 12raiz81 = 12 cdot 9 = 118

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da aproximação com x = 81, De:
raiz81,18 approx raiz81 + f'(81) cdot De
= 9 + 0,1818 = 9 + 0,01 = 9,01

Passo 6

Agora que estimamos raiz81,18 approx 9,01, vamos substituir de volta na expressão original:
raiz16,1 + raiz81,18 approx raiz16,1 + 9,01 = raiz25,11

Passo 7

Novamente, usamos a aproximação linear para raizx, agora com x = 25 e De.
Sabemos que raiz25 = 5, e a derivada em x = 25 é:
f'(25) = 12raiz25 = 110
Então:
raiz25,11 approx raiz25 + f'(25) cdot De

Resposta

Portanto, usando conceitos do cálculo diferencial, a estimativa de raiz16,1 + raiz81,18 é aproximadamente 5,011.

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