Aplique conceitos do cálculo diferencial para estimar
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar conceitos do cálculo diferencial para estimar o valor de
. Isso envolve trabalhar com funções quadráticas e suas aproximações usando derivadas. Para resolver, vamos precisar entender como pequenas variações nos números dentro das raízes afetam o resultado final e usar a derivada para fazer uma estimativa rápida.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a expressão interna:
. Sabemos que
, então 81,18 está bem perto de 81. Vamos chamar
e
. Queremos estimar
.
Passo 3
Para estimar
, usamos a aproximação linear da função
perto de
. A fórmula da aproximação é:
Aqui,
e
é a derivada de
.
Passo 4
Vamos calcular a derivada
. Sabemos que:
No ponto
:
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula da aproximação com
,
:
Passo 6
Agora que estimamos
, vamos substituir de volta na expressão original:
Passo 7
Novamente, usamos a aproximação linear para
, agora com
e
.
Sabemos que
, e a derivada em
é:
Então:
Resposta
Portanto, usando conceitos do cálculo diferencial, a estimativa de
é aproximadamente 5,011.