Desenvolva a função
em série de Maclaurin e determine o seu intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente desenvolver a função $ f(x) = (x + 1)e^{x} $ em série de Maclaurin e descobrir o intervalo de convergência dessa série. Isso está dentro do conteúdo de séries de potências, mais especificamente sobre séries de Maclaurin. Para resolver, vamos precisar saber como expandir funções exponenciais em série e como manipular séries para encontrar a expressão final e o intervalo onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Maclaurin. É uma série de potências que representa uma função $ f(x) $ em torno de $ x = 0 $. A fórmula geral é:
No nosso caso, $ f(x) = (x + 1)e^{x} $. Sabemos que a série de Maclaurin para $ e^{x} $ é:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar a série de $ e^{x} $ por $ (x + 1) $:
Vamos distribuir o $ (x + 1) $ dentro da soma:
Passo 4
Vamos simplificar cada parte separadamente. Para o primeiro termo:
Vamos ajustar o índice da soma substituindo $ n+1 $ por $ k $, onde $ k = n + 1 $:
Para o segundo termo:
Agora, juntando os dois termos:
Passo 5
Observamos que podemos reescrever o primeiro somatório substituindo $ k $ por $ n $:
Agora, combinamos os dois somatórios, começando a partir de $ n = 0 $:
Simplificando:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro do somatório:
Portanto:
Passo 7
Podemos reescrever $ \frac{n + 1}{n!} = \frac{(n + 1)}{(n+1)!} \cdot (n + 1) = \frac{1}{n!} $, então:
Passo 8
Por fim, chegamos à série de Maclaurin para $ f(x) = (x + 1)e^{x} $:
Passo 9
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que a série de $ e^{x} $ converge para todo $ x $, ou seja, o raio de convergência é infinito. Como multiplicamos por $ (x + 1) $, que é um polinômio, o intervalo de convergência permanece o mesmo.
Resposta
A série de Maclaurin para $ f(x) = (x + 1)e^{x} $ é:
E o intervalo de convergência é $ \mathbb{R} $ (todos os números reais).