Verifique se a seguinte função é contínua em todo
, justificando a sua resposta:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função $ f(x, y) $ definida de duas maneiras diferentes: uma quando
e outra quando
. O conteúdo que vamos usar aqui é continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, precisamos verificar se a função é contínua em todos os pontos do plano, especialmente no ponto
, que é onde a definição muda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Basicamente, para $ f(x, y) $ ser contínua no ponto
, o limite de $ f(x, y) $ quando
se aproxima de
deve ser igual ao valor de $ f(a, b) $.
No nosso caso, queremos ver se $ \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x, y) = f(0,0) $.
Passo 3
Vamos calcular o limite de $ f(x, y) $ quando
se aproxima de
. A função para
é:
Podemos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
Passo 4
Agora, vamos analisar cada parte do limite separadamente:
-
Primeiro termo: $ \frac{e^{3} y}{x^{2} + y^{2}} $À medida que
, tanto o numerador $ e^{3} y $ quanto o denominador $ x^{2} + y^{2} $ tendem a zero. Porém, como $ y $ está no numerador e o denominador é a soma dos quadrados de $ x $ e $ y $, essa fração tende a zero. -
Segundo termo: $ \frac{x{2}}{x{2} + y^{2}} $Esse termo é sempre menor ou igual a 1, já que $ x^{2} $ está no numerador e $ x^{2} + y^{2} $ no denominador. À medida que $(x, y) $ se aproxima de
, esse termo tende a 0. -
Terceiro termo: $ \frac{y{2}}{x{2} + y^{2}} $Assim como o segundo termo, esse também é sempre menor ou igual a 1 e tende a 0 quando
se aproxima de .
Passo 5
Somando os limites dos três termos:
Passo 6
Agora, vamos ver o valor da função no ponto
. Pelo enunciado, temos que:
Passo 7
Comparando o limite com o valor da função no ponto:
Como o limite não é igual ao valor da função no ponto, a função não é contínua em
.
Resposta
A função $ f(x, y) $ não é contínua em todo
, pois ela apresenta descontinuidade no ponto
.