Verifique se a seguinte função é contínua em todo (x, y) in R^2, justificando a sua resposta:
f(x, y)=ll e^3 y+x^2+y^2s^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0), 1, & caso contrário á

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função $ f(x, y) $ definida de duas maneiras diferentes: uma quando f(x, y) e outra quando (x, y) neq (0,0). O conteúdo que vamos usar aqui é continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, precisamos verificar se a função é contínua em todos os pontos do plano, especialmente no ponto (x, y) = (0,0), que é onde a definição muda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Basicamente, para $ f(x, y) $ ser contínua no ponto f(x, y) , o limite de $ f(x, y) $ quando (a, b) se aproxima de f(x, y) deve ser igual ao valor de $ f(a, b) $.
No nosso caso, queremos ver se $ \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x, y) = f(0,0) $.

Passo 3

Vamos calcular o limite de $ f(x, y) $ quando f(x, y) se aproxima de (x, y). A função para (0,0) é:
(x, y) neq (0,0)
Podemos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
f(x, y) = e^3 y + x^2 + y^2x^2 + y^2

Passo 4

Agora, vamos analisar cada parte do limite separadamente:
  1. Primeiro termo: $ \frac{e^{3} y}{x^{2} + y^{2}} $
    À medida que e^3 yx^2 + y^2 , tanto o numerador $ e^{3} y $ quanto o denominador $ x^{2} + y^{2} $ tendem a zero. Porém, como $ y $ está no numerador e o denominador é a soma dos quadrados de $ x $ e $ y $, essa fração tende a zero.
  2. Segundo termo: $ \frac{x{2}}{x{2} + y^{2}} $
    Esse termo é sempre menor ou igual a 1, já que $ x^{2} $ está no numerador e $ x^{2} + y^{2} $ no denominador. À medida que $(x, y) $ se aproxima de (x, y) to (0,0), esse termo tende a 0.
  3. Terceiro termo: $ \frac{y{2}}{x{2} + y^{2}} $
    Assim como o segundo termo, esse também é sempre menor ou igual a 1 e tende a 0 quando e^3 y se aproxima de x^2 + y^2 .

Passo 5

Somando os limites dos três termos:
lim(x,y) to (0,0) f(x, y) = 0 + 0 + 0 = 0

Passo 6

Agora, vamos ver o valor da função no ponto (0,0). Pelo enunciado, temos que:
f(0, 0) = 1

Passo 7

Comparando o limite com o valor da função no ponto:
lim(x,y) to (0,0) f(x, y) = 0 neq f(0,0) = 1
Como o limite não é igual ao valor da função no ponto, a função não é contínua em (0,0).

Resposta

A função $ f(x, y) $ não é contínua em todo f(x, y) , pois ela apresenta descontinuidade no ponto R^2.

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