Calcule a integral tripla integral triplaS 1x^2 y+y dV, em que S é o sólido definido por
S=(x, y, z) mid 0 <= x <= 1, x <= y <= x+1 e 0 <= z <= y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla integral triplaS 1x^2y+y ,dV, onde
S=(x,y,z)mid 0<= x<=1,;x<= y<= x+1,;0<= z<= y
Esse é um problema de Cálculo 3 envolvendo integrais múltiplas em coordenadas cartesianas e integração iterada.

Passo 2

Primeiro, simplificamos o integrando. Observamos que
1x^2y+y=1y,(x^2+1)
Ou seja, a integral fica
integral triplaS 1y(x^2+1) ,dV

Passo 3

Em seguida, escolhemos a ordem de integração dz,dy,dx. Como o integrando não depende de z, a integral interna em z é
integralz=0^z=y 1y(x^2+1) ,dz = 1y(x^2+1) l[zr]0^y = yy(x^2+1) = 1x^2+1

Passo 4

Agora a integral reduz-se a duas variáveis:
$$\int_{x=0}{1}\int_{y=x}{x+1} \frac{1}{x^2+1} ,dy,dx.
integralx=0^1integraly=x^x+1 1x^2+1 ,dy,dx éçã\int_{y=x}^{x+1} \frac{1}{x^2+1} ,dy = \frac{1}{x^2+1} \bigl[(x+1)-x\bigr] = \frac{1}{x^2+1}.$$

Passo 5

Por fim, falta integrar em x:
integral0^1 1x^2+1 ,dx = l[arctan(x)r]0^1 = pi4

Resposta

pi4

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