Aplique a definição para encontrar as derivadas parciais indicadas:

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=x^2y-3xy^2+2yz
e pede a derivada parcial em relação a y. Vamos usar a definição de derivada parcial, tratando x e z como constantes e aplicando
partial fpartial y=limhto0f(x,y+h,z)-f(x,y,z)h.

Passo 2

Escrevendo a definição de fato:
partial fpartial y =limhto0f(x,y+h,z)-f(x,y,z)h

Passo 3

Calculemos primeiro f(x,y+h,z) substituindo ymapsto y+h:
f(x,y+h,z) = x^2(y+h);-;3x(y+h)^2;+;2(y+h)z
Expandindo os termos:
f(x,y+h,z) = x^2y + x^2h ;-;3xl(y^2+2yh+h^2r);+;2yz+2hz
f(x,y+h,z) = x^2y + x^2h ;-;3xy^2 -6xyh -3xh^2 ;+;2yz +2hz

Passo 4

Agora a diferença
f(x,y+h,z)-f(x,y,z) =l[x^2y + x^2h -3xy^2 -6xyh -3xh^2 +2yz +2hzr] -l[x^2y -3xy^2 +2yzr]
f(x,y+h,z)-f(x,y,z) = x^2h -6xyh -3xh^2 +2hz

Passo 5

Dividindo por h e fazendo hto0:
f(x,y+h,z)-f(x,y,z)h = x^2 -6xy -3xh +2z longrightarrow x^2-6xy+2z (quando hto0)

Resposta

partial fpartial y(x,y,z)=x^2-6xy+2z

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