Aplique a definição para encontrar as derivadas parciais indicadas:

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada parcial de
f(x,y,z)=x^2+4y^2+9z^2
em relação a x, ou seja, partial fpartial x(x,y,z). Vamos usar a definição de derivada parcial baseada em limites.

Passo 2

A definição de derivada parcial em relação a x é
partial fpartial x(x,y,z) = limhto0 f(x+h,y,z)-f(x,y,z)h

Passo 3

Calculemos a diferença no numerador:
f(x+h,y,z)-f(x,y,z) = l((x+h)^2+4y^2+9z^2r) - l(x^2+4y^2+9z^2r) = (x+h)^2-x^2 = 2xh+h^2

Passo 4

Dividindo por h e fazendo o limite:
f(x+h,y,z)-f(x,y,z)h = 2xh+h^2h = 2x + h,
e portanto, ao levar hto0,
partial fpartial x(x,y,z) = limhto0(2x+h) = 2x

Resposta

partial fpartial x=2x

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