Aplique a definição para encontrar as derivadas parciais indicadas:

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da derivada parcial partial fpartial y da função
f(x,y)=3xy+6x-y^2,
usando a definição de derivada parcial, em que ao derivar em relação a y mantém-se x constante.

Passo 2

Aplicamos a definição
partial fpartial y(x,y)=limhto0f(x,y+h)-f(x,y)h
Para isso, calculemos f(x,y+h):
f(x,y+h)=3x(y+h)+6x-(y+h)^2 =3xy+3xh+6x-y^2-2yh-h^2
Assim, o incremento é
f(x,y+h)-f(x,y)=3xh-2yh-h^2,
e dividindo por h temos
f(x,y+h)-f(x,y)h=3x-2y-h
Tomando o limite hto0 obtemos
partial fpartial y(x,y)=3x-2y

Resposta

partial fpartial y(x,y)=3x-2y

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