Aplique a definição de limites de funções complexas para provar que
\lim _{z \rightarrow 1}\left(\frac{z^{2}-1}{z-1}\right)=2

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição ε–δ de limite para funções de variável complexa, que
\lim_{z\to1}\frac{z^{2}-1}{z-1}=2.
O conteúdo aqui é a definição: dizer que \lim_{z\to1}f(z)=L significa que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que
0<|z-1|<\delta\quad\Longrightarrow\quad |f(z)-L|<\varepsilon.

Passo 2

Antes de aplicar ε–δ, simplificamos a expressão algébrica. Para z\neq1 temos
z^{2}-1=(z-1)(z+1),
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\frac{z^{2}-1}{z-1}=z+1.

Passo 3

Substituindo na diferença que queremos controlar, para z\neq1:
\left|\frac{z^{2}-1}{z-1}-2\right| =\bigl|\,z+1-2\bigr| =\bigl|\,z-1\bigr|.
Pela definição de limite, dado \varepsilon>0 basta escolher \delta=\varepsilon.
Então, sempre que
0<|z-1|<\delta,
segue
\left|\frac{z^{2}-1}{z-1}-2\right|=|z-1|<\delta=\varepsilon.
Isso prova que, segundo a definição ε–δ,
\lim_{z\to1}\frac{z^{2}-1}{z-1}=2.

Resposta

O limite é 2.

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