Dados os números complexos \left\{z_{1}, z_{2}\right\} \in \mathbb{C},
z_{1}=\frac{3+4 i}{3-4 i}, \quad z_{2}=\left(\frac{2+2 i}{1-3 i}\right)^{2},
encontre suas formas polares, módulos, seu produto \left(z_{1} z_{2}\right) e seu quociente ( z_{1} / z_{2} ).

Passo 1

O enunciado fornece dois números complexos
\displaystyle z_{1} = \frac{3+4i}{3-4i} e
\displaystyle z_{2} = \Bigl(\frac{2+2i}{1-3i}\Bigr)^{2}.
Pede-se:
  1. Encontrar a forma polar de cada um (isto é, módulo e argumento).
  2. Calcular o produto z_{1}z_{2}.
  3. Calcular o quociente z_{1}/z_{2}.
Os conteúdos envolvidos são: simplificação de quocientes de números complexos, cálculo de módulo e argumento, e operações em forma polar usando que
|z w| = |z|\,|w|,\quad \arg(z w)=\arg z+\arg w,\quad \Bigl|\frac{z}{w}\Bigr|=\frac{|z|}{|w|},\quad \arg\Bigl(\frac{z}{w}\Bigr)=\arg z-\arg w.

Passo 2

Simplificamos z_{1} em forma retangular e achamos seu módulo e argumento.
Multiplicando numerador e denominador por 3+4i:
z_{1} = \frac{(3+4i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)} = \frac{(3+4i)^{2}}{3^{2}+4^{2}} = \frac{9+24i+16i^{2}}{25} = \frac{-7+24i}{25}.
Então
\Re(z_{1}) = -\tfrac{7}{25},\quad \Im(z_{1}) = \tfrac{24}{25}.
O módulo é
|z_{1}| = \sqrt{\Bigl(-\tfrac{7}{25}\Bigr)^{2}+\Bigl(\tfrac{24}{25}\Bigr)^{2}} = \frac{\sqrt{49+576}}{25} = \frac{25}{25} = 1.
Para o argumento, como \Re(z_{1})<0 e \Im(z_{1})>0 (2.\ quadrante),
\theta_{1} = \arg(z_{1}) = \pi + \arctan\!\Bigl(\tfrac{24/25}{-7/25}\Bigr) = \pi + \arctan\!\bigl(-\tfrac{24}{7}\bigr) = \pi - \arctan\!\bigl(\tfrac{24}{7}\bigr) \approx 1{,}8517\\ \text{rad}.

Passo 3

Escrevemos z_{1} em forma polar:
z_{1} = 1\;\bigl(\cos\theta_{1} + i\sin\theta_{1}\bigr) = e^{\,i\theta_{1}}, \quad \theta_{1}\approx1{,}8517\\ \text{rad}.

Passo 4

Fazemos o mesmo para z_{2}. Primeiro simplificamos
\frac{2+2i}{1-3i} \;\times\;\frac{1+3i}{1+3i} = \frac{(2+2i)(1+3i)}{1+9} = \frac{2+6i+2i+6i^{2}}{10} = \frac{-4+8i}{10} = -\tfrac{2}{5} + \tfrac{4}{5}i.
Então
z_{2} = \Bigl(-\tfrac{2}{5} + \tfrac{4}{5}i\Bigr)^{2} = \frac{(-2)^{2}-4^{2} + 2\cdot(-2)\cdot4\,i}{5^{2}} = \frac{-12 -16i}{25} = -\tfrac{12}{25} - \tfrac{16}{25}i.
O módulo é
|z_{2}| = \sqrt{\Bigl(-\tfrac{12}{25}\Bigr)^{2}+\Bigl(-\tfrac{16}{25}\Bigr)^{2}} = \frac{\sqrt{144+256}}{25} = \frac{20}{25} = \tfrac{4}{5}.
Como \Re(z_{2})<0,\\ \Im(z_{2})<0 (3.\ quadrante),
\theta_{2} = \arg(z_{2}) = \pi + \arctan\!\Bigl(\tfrac{-16/25}{-12/25}\Bigr) = \pi + \arctan\!\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr) \approx 4{,}0689\\ \text{rad}.

Passo 5

Em forma polar:
z_{2} = \tfrac{4}{5}\bigl(\cos\theta_{2} + i\sin\theta_{2}\bigr) = \tfrac{4}{5}\,e^{\,i\theta_{2}}, \quad \theta_{2}\approx4{,}0689\\ \text{rad}.

Passo 6

Para o produto usamos
|z_{1}z_{2}| = |z_{1}|\;|z_{2}| = 1\cdot\tfrac{4}{5} = \tfrac{4}{5}, \quad \arg(z_{1}z_{2}) = \theta_{1} + \theta_{2} \approx 1{,}8517 + 4{,}0689 = 5{,}9206\\ \text{rad}.
Em forma polar:
z_{1}z_{2} = \tfrac{4}{5}\,e^{\,i\,(5{,}9206)}.
Em forma retangular (para confirmar):
z_{1}z_{2} = (-\tfrac{7}{25}+\tfrac{24}{25}i)\;(-\tfrac{12}{25}-\tfrac{16}{25}i) = \tfrac{468}{625} - \tfrac{176}{625}i \approx 0{,}7488 - 0{,}2816\,i.

Passo 7

Para o quociente usamos
\Bigl|\tfrac{z_{1}}{z_{2}}\Bigr| = \frac{|z_{1}|}{|z_{2}|} = \frac{1}{4/5} = \tfrac{5}{4}, \quad \arg\Bigl(\tfrac{z_{1}}{z_{2}}\Bigr) = \theta_{1} - \theta_{2} \approx 1{,}8517 - 4{,}0689 = -2{,}2172\\ \text{rad}.
Em forma polar:
\tfrac{z_{1}}{z_{2}} = \tfrac{5}{4}\,e^{\,i\,(-2{,}2172)}.
Em forma retangular (confirmação):
\tfrac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{-\tfrac{7}{25}+\tfrac{24}{25}i}{-\tfrac{12}{25}-\tfrac{16}{25}i} = -\tfrac{3}{4} \;-\; i.

Resposta

z_{1} = e^{\,i\,1{,}8517}, com |z_{1}|=1 e \arg(z_{1})\approx1{,}8517\\ \mathrm{rad}.
z_{2} = \tfrac{4}{5}\,e^{\,i\,4{,}0689}, com |z_{2}|=\tfrac{4}{5} e \arg(z_{2})\approx4{,}0689\\ \mathrm{rad}.
z_{1}z_{2} = \tfrac{4}{5}\,e^{\,i\,5{,}9206} \quad\bigl(\approx0{,}7488 - 0{,}2816\,i\bigr),
\tfrac{z_{1}}{z_{2}} = \tfrac{5}{4}\,e^{\,i\,(-2{,}2172)} \quad\bigl(=-\tfrac{3}{4}-i\bigr).

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