Dados os números complexos \left\{z_{1}, z_{2}\right\} \in \mathbb{C}, z_{1}=\frac{3+4 i}{3-4 i}, \quad z_{2}=\left(\frac{2+2 i}{1-3 i}\right)^{2},
encontre suas formas polares, módulos, seu produto \left(z_{1} z_{2}\right) e seu quociente ( z_{1} / z_{2} ).
Passo 1
O enunciado fornece dois números complexos \displaystyle z_{1} = \frac{3+4i}{3-4i} e \displaystyle z_{2} = \Bigl(\frac{2+2i}{1-3i}\Bigr)^{2}.
Pede-se:
Encontrar a forma polar de cada um (isto é, módulo e argumento).
Calcular o produto z_{1}z_{2}.
Calcular o quociente z_{1}/z_{2}.
Os conteúdos envolvidos são: simplificação de quocientes de números complexos, cálculo de módulo e argumento, e operações em forma polar usando que
\tfrac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{-\tfrac{7}{25}+\tfrac{24}{25}i}{-\tfrac{12}{25}-\tfrac{16}{25}i} = -\tfrac{3}{4} \;-\; i.
Resposta
z_{1} = e^{\,i\,1{,}8517}, com |z_{1}|=1 e \arg(z_{1})\approx1{,}8517\\ \mathrm{rad}. z_{2} = \tfrac{4}{5}\,e^{\,i\,4{,}0689}, com |z_{2}|=\tfrac{4}{5} e \arg(z_{2})\approx4{,}0689\\ \mathrm{rad}.