(a) Mostre que u(x, y)=2 x(1-y) é uma função harmônica.
(b) Encontre v(x, y) tal que f(z)=u(x, y)+i v(x, y) seja analítica.
(c) Expresse f(z) em termos de z.

Passo 1

O enunciado define
u(x,y)=2x(1-y)
e pede: (a) mostrar que u é harmônica, ou seja, que satisfaz \Delta u=0; (b) encontrar v(x,y) de modo que
f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y)
seja analítica, isto é, satisfazer as equações de Cauchy–Riemann; e (c) escrever f(z) em termos de z.

Passo 2

Para ver que u é harmônica, calculamos as segundas derivadas parciais:
u(x,y)=2x-2xy,
logo
u_x=\frac{\partial}{\partial x}(2x-2xy)=2-2y, \quad u_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(2-2y)=0,
u_y=\frac{\partial}{\partial y}(2x-2xy)=-2x, \quad u_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(-2x)=0.
Portanto
\Delta u = u_{xx}+u_{yy}=0+0=0,
logo u é harmônica.

Passo 3

Para achar a conjugada harmônica v(x,y), usamos as equações de Cauchy–Riemann:
u_x = v_y, \quad u_y = -v_x.
Como u_x=2-2y e u_y=-2x, temos
v_y = 2-2y, \quad v_x = 2x.
Integramos v_y em relação a y:
v(x,y)=\int(2-2y)\,dy = 2y - y^2 + h(x),
onde h é função de x. Derivando essa expressão em x e igualando a v_x, obtemos
v_x = h'(x) = 2x,
logo h(x)=x^2 + C. Assim, podemos tomar
v(x,y)=x^2 - y^2 + 2y
(descartando a constante C).

Passo 4

Agora f(z)=u+iv fica
f(z)=\bigl(2x-2xy\bigr) + i\bigl(x^2 - y^2 +2y\bigr).
Para escrever em termos de z=x+iy, note que
i\,z^2 + 2z = i\bigl(x+iy\bigr)^2 + 2(x+iy) = i(x^2 - y^2 +2ixy) + 2x + 2iy
= i(x^2 - y^2) -2xy + 2x + i\cdot2xy + i\cdot2y = \bigl(2x -2xy\bigr) + i\bigl(x^2 - y^2 +2y\bigr),
que coincide com u+iv. Portanto
f(z)=i\,z^2+2z.

Resposta

(a) \Delta u=0, logo u é harmônica.
(b) v(x,y)=x^2 - y^2 +2y.
(c) f(z)=i\,z^2 + 2z.

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