(a) Mostre que
é uma função harmônica.
(b) Encontre
tal que
seja analítica.
(c) Expresse
em termos de
.
(b) Encontre
(c) Expresse
Passo 1
O enunciado define
e pede: (a) mostrar que
é harmônica, ou seja, que satisfaz
; (b) encontrar
de modo que
seja analítica, isto é, satisfazer as equações de Cauchy–Riemann; e (c) escrever
em termos de
.
Passo 2
Para ver que
é harmônica, calculamos as segundas derivadas parciais:
logo
Portanto
logo
é harmônica.
Passo 3
Para achar a conjugada harmônica
, usamos as equações de Cauchy–Riemann:
Como
e
, temos
Integramos
em relação a
:
onde
é função de
. Derivando essa expressão em
e igualando a
, obtemos
logo
. Assim, podemos tomar
(descartando a constante
).
Passo 4
Agora
fica
Para escrever em termos de
, note que
que coincide com
. Portanto
Resposta
(a)
, logo
é harmônica.
(b) .
(c) .
(b)
(c)