Aplique eliminação e retrossubstituição para resolver: \begin{aligned} & 2 u+3 v=0 \\ & 4 u+5 v+w=3 \\ & 2 u-v-3 w=5 \end{aligned} Passo 1Resumindo, temos um sistema de três equações lineares nas variáveis \{u,v,w\} e vamos usar eliminação de Gauss para obter um sistema triangular superior e em seguida retrossubstituição para encontrar (u,v,w). Passo 2Escrevemos o sistema como \begin{cases} 2u+3v+0w=0,\\\\ 4u+5v+1w=3,\\\\ 2u-1v-3w=5. \end{cases} Eliminamos u das equações 2 e 3: \text{Eq2}\leftarrow \text{Eq2}-2\times \text{Eq1},\quad \text{Eq3}\leftarrow \text{Eq3}-1\times \text{Eq1}. Isso gera \begin{cases} 2u+3v+0w=0,\\\\ 0u- v+ w=3,\\\\ 0u-4v-3w=5. \end{cases} Passo 3Agora eliminamos v da terceira equação. Multiplicamos a eq. 2 por 4 e subtraímos da eq. 3: \text{Eq3}\leftarrow \text{Eq3}-4\times \text{Eq2}, obtendo -7w=-7. Passo 4Resolvendo -7w=-7 encontramos w=1. Passo 5Fazendo retrossubstituição em -v+w=3, temos -v+1=3 \quad\Longrightarrow\quad v=-2. Passo 6Finalmente, substituindo em 2u+3v=0, obtemos 2u+3(-2)=0 \quad\Longrightarrow\quad u=3. Resposta u=3,\;v=-2,\;w=1 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosPara as matrizes A dadas, encontre os valores de \lambda tais que o sistema A X=\lambda X tem solução não trivial e para estes valores de \lambda, encontre uma base para o espaço solução: A=\left[\begin{array}{lll}2 & 3 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]; Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique. ( ) O operador T \in \mathcal{L}\left(\mathcal{P}_{3}\right) definido por T(p)=p^{\prime} é diagonalizável. Se os elementos de A são a_{i j}, utilize a notação dos subscritos para escrever: (a) o primeiro pivô. (b) o multiplicador \ell_{i 1} da linha 1 a ser subtraído da linha i. (c) o novo elemento que substitui a_{i j} após a subtração. (d) o segundo pivô. Estude a posição relativa das retas r e s nos seguintes casos: r: \frac{x-1}{2}=\frac{y-5}{5}=\frac{z+2}{5}, \quad s: x=\frac{y-2}{2}=1-z