Para as matrizes A dadas, encontre os valores de \lambda tais que o sistema A X=\lambda X tem solução não trivial e para estes valores de \lambda, encontre uma base para o espaço solução:
A=\left[\begin{array}{lll}2 & 3 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2\end{array}\right];

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 0\\\\ 0 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}
e pede encontrar os valores de \lambda que tornam o sistema
A X = \lambda X
com solução não trivial (isto é, os autovalores) e, para cada um, uma base do espaço de soluções (autovetores). Vamos usar a teoria de autovalores e autovetores: primeiro calculamos o polinômio característico \det(A - \lambda I)=0, depois resolvemos (A-\lambda I)X=0.

Passo 2

Como A é triangular superior, seu determinante é o produto dos elementos da diagonal. Assim, o polinômio característico é
\det(A - \lambda I) = (2-\lambda)(2-\lambda)(2-\lambda) = (2-\lambda)^3.

Passo 3

Da equação (2-\lambda)^3=0 obtemos o único autovalor \lambda = 2 com multiplicidade algébrica igual a 3.

Passo 4

Agora resolvemos
(A - 2I)X = 0.
Calculando A - 2I:
A - 2I = \begin{pmatrix} 2-2 & 3 & 0\\\\ 0 & 2-2 & 0\\\\ 0 & 0 & 2-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 0\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 5

Se X=(x_1,x_2,x_3)^T, o sistema (A-2I)X=0 dá a única equação
0\cdot x_1 + 3\,x_2 + 0\cdot x_3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x_2 = 0.
As variáveis x_1 e x_3 ficam livres.

Passo 6

Logo o espaço de autovetores para \lambda=2 é
\{(x_1,0,x_3)^T \mid x_1,x_3\in\mathbb{R}\} = \mathrm{span}\{(1,0,0)^T,\,(0,0,1)^T\}.

Resposta

O único valor de \lambda que admite solução não trivial é
\lambda = 2.
Uma base do espaço solução (autovetores) é
\{(1,0,0)^T,\,(0,0,1)^T\}.

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