Aplique o fator integrante na seguinte equação:
y^prime-4 / x y=x^wed>= 5 e^wed>= x

Passo 1

O enunciado apresenta uma EDO de primeira ordem linear: y'-4xy = x^5 e^x. O assunto é equações lineares e vamos usar o fator integrante para transformar o lado esquerdo numa derivada exata e assim integrar facilmente.

Passo 2

Identificamos P(x) = -tfrac4x. O fator integrante mu(x) satisfaz mu(x)=e^integral P(x),dx, ou seja:
mu(x)=e^integral -tfrac4xdx=e^-4ln x=x^-4

Passo 3

Multiplicamos toda a equação original por mu(x)=x^-4:
x^-4y'-4xx^-4y = x^-4,x^5 e^x
Que simplifica para
x^-4y'-4x^-5y = x e^x

Passo 4

Observamos que o lado esquerdo é a derivada do produto x^-4y:
ddxl(x^-4yr) = x^-4y' - 4x^-5y

Passo 5

Logo a equação fica
ddxl(x^-4yr) = x e^x

Passo 6

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
x^-4y = integral x e^x dx = (x-1)e^x + C

Passo 7

Finalmente isolamos y:
$$y = x4\bigl((x-1)ex + C\bigr).
$$

Resposta

y = x4\bigl((x-1)ex + C\bigr)

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