Seja f(x)=x^2+1x
Esboce o gráfico de f.

Passo 1

Temos a função f(x)=x^2+1x. O domínio é Rsetminus0. Para esboçar o gráfico, vamos usar cálculo de derivadas para determinar monotonicidade e concavidade, achar pontos críticos e de inflexão, e estudar os limites em xto0^pm e xtopminfty para identificar assíntotas.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada para encontrar os pontos críticos:
f'(x)=2x-1x^2

Passo 3

Resolvendo f'(x)=0:
2x-1x^2=0implies2x^3=1implies x=2^-1/3

Passo 4

Substituindo em f
fl(2^-1/3r)=l(2^-1/3r)^2+2^1/3=2^-2/3+2^1/3

Passo 5

Analisamos o sinal de f'(x): em x<0 temos 2x<0 e -1/x^2<0, logo f'<0 (decrescente). Em 0 a derivada é negativa (decrescente) e para x>2^-1/3 é positiva (crescente). Portanto há mínimo em x=2^-1/3.

Passo 6

Para concavidade, calculamos a segunda derivada:
f''(x)=2+2x^3

Passo 7

Resolvendo f''(x)=0:
2+2x^3=0implies x^3=-1implies x=-1,

Passo 8

que é ponto de inflexão com f(-1)=(-1)^2+(-1)^-1=2

Passo 9

Estudamos os limites para assíntotas:
limxto0^+f(x)=+infty,limxto0^-f(x)=-infty,
portanto há assíntota vertical em x=0.
limxtopminftyf(x)=+infty,
sem assíntota horizontal. Juntando tudo, o gráfico decresce de +infty em xto-infty até cruzar o ponto de inflexão (-1,2) e continuar descendo para -infty em xto0^-. Em 0 decresce de +infty em xto0^+ até o mínimo (2^-1/3,2^-2/3+2^1/3), depois cresce para +infty em xto+infty.

Resposta

O gráfico de f(x)=x^2+1x tem domínio Rsetminus0, assíntota vertical em x=0, ponto de inflexão em (-1,2) e mínimo local em l(2^-1/3,,2^-2/3+2^1/3r). Para x<0 a função é sempre decrescente de +infty a -infty. Para x>0 decresce de +infty até o mínimo em x=2^-1/3 e depois cresce para +infty.

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