Seja
Esboce o gráfico de
.
Esboce o gráfico de
Passo 1
Temos a função
. O domínio é
. Para esboçar o gráfico, vamos usar cálculo de derivadas para determinar monotonicidade e concavidade, achar pontos críticos e de inflexão, e estudar os limites em
e
para identificar assíntotas.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada para encontrar os pontos críticos:
Passo 3
Resolvendo
:
Passo 4
Substituindo em
Passo 5
Analisamos o sinal de
: em
temos
e
, logo
(decrescente). Em
a derivada é negativa (decrescente) e para
é positiva (crescente). Portanto há mínimo em
.
Passo 6
Para concavidade, calculamos a segunda derivada:
Passo 7
Resolvendo
:
Passo 8
que é ponto de inflexão com
Passo 9
Estudamos os limites para assíntotas:
portanto há assíntota vertical em
sem assíntota horizontal. Juntando tudo, o gráfico decresce de
em
até cruzar o ponto de inflexão
e continuar descendo para
em
. Em
decresce de
em
até o mínimo
, depois cresce para
em
.
Resposta
O gráfico de
tem domínio
, assíntota vertical em
, ponto de inflexão em
e mínimo local em
. Para
a função é sempre decrescente de
a
. Para
decresce de
até o mínimo em
e depois cresce para
.