Responda as questões sobre conjuntos: (I) (ENEM) Numa prova de matemática de duas questões, 35 alunos acertaram somente uma questão, 31 acertaram a primeira, 8 acertaram as duas e 40 erraram a segunda questão. Então, o número de alunos que fizeram essa prova foi: c) 52

Passo 1

Estamos aplicando teoria de conjuntos (união, interseção e diferença simétrica). Em uma prova de duas questões temos: 35 alunos acertaram exatamente uma, 31 acertaram a primeira, 8 acertaram ambas e 40 erraram a segunda. Queremos saber o total de alunos que fizeram a prova.

Passo 2

Representamos por A o conjunto dos que acertaram a primeira questão e por B o dos que acertaram a segunda. Então os dados são: |A| = 31, |A cap B| = 8, o número de quem acertou exatamente uma questão é |A oplus B| = 35 e o número de quem errou a segunda é |B^c| = 40.

Passo 3

Para achar |B| usamos a fórmula da diferença simétrica:
|A oplus B| = |A| + |B| - 2|A cap B|

Passo 4

Substituindo |A oplus B| = 35, |A| = 31 e |A cap B| = 8 temos:
35 = 31 + |B| - 2cdot 8

Passo 5

Logo:
35 = 31 + |B| - 16 35 = |B| + 15 |B| = 20

Passo 6

Como 40 alunos erraram a segunda, vale |B^c| = 40, ou seja
U - |B| = 40

Passo 7

Logo o total de alunos é
U = 40 + |B| = 40 + 20 = 60

Resposta

60

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