Aplique i TPC para determinar d y / d x se
y=\int_{1}^{x^{2}} \operatorname{sen} t d t

Passo 1

O enunciado dá
y=\int_{1}^{x^{2}}\operatorname{sen} t\,dt
e pede \frac{dy}{dx}.
Conteúdo: Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2) e Regra da Cadeia.

Passo 2

Defina
F(u)=\int_{1}^{u}\operatorname{sen} t\,dt.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo temos
F'(u)=\operatorname{sen} u.
Como y=F(x^{2}), vamos usar a Regra da Cadeia.

Passo 3

Aplicando a Regra da Cadeia:
\frac{dy}{dx}=F'(x^{2})\cdot\frac{d}{dx}(x^{2}) =\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr)\cdot 2x.

Resposta

\frac{dy}{dx}=2x\,\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr).

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