Calcule
\int \frac{x}{x^{2}+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx.
O conteúdo aqui é integração por substituição e conhecemos que a derivada de \ln aparece quando temos 1/u.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2} + 1,
de modo que
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.

Passo 3

Reescrevendo a integral em função de u, temos
\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx =\int \frac{1}{u}\,\frac{du}{2} =\frac{1}{2}\int \frac{du}{u}.

Passo 4

A integral de 1/u é \ln|u|. Logo,
\frac{1}{2}\int \frac{du}{u} =\frac{1}{2}\ln\bigl|u\bigr| + C.
Como u = x^{2}+1>0 para todo x, podemos tirar o módulo:
\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) + C.

Resposta

\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) + C.

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