Aplique o Método da Bissecção para resolver:
(a)
;
obtendo em cada caso,
e
iniciais graficamente. Os valores de
e
são os extremos dos intervalos
que contém a solução de cada equação. Como sugestão, obtenha para cada caso um intervalo de comprimento 0.2 e aplique o Método da Bissecção considerando como critério de parada
. Trabalhe com 4 casas decimais.
(a)
Passo 1
O enunciado pede resolver a equação
usando o Método da Bissecção. Especificações dadas:
- Encontrar os extremos iniciais
e graficamente de modo que o intervalo contenha a solução. - Como sugestão, obter um intervalo inicial de comprimento
. - Aplicar o Método da Bissecção com critério de parada
. - Trabalhar com
casas decimais nas contas apresentadas.
Informações que iremos usar explicitamente: a função a resolver é
, o critério de parada é
e queremos um intervalo inicial de comprimento
que contenha a raiz.
Passo 2
Breve aula sobre o Método da Bissecção (passo-a-passo e por que funciona), sem pular etapas:
- Definição da função: seja
. Cada variável e símbolo: é a incógnita; é a função exponencial; é a diferença entre e . - Continuidade e teorema do valor intermediário:
é contínua e também, logo é contínua. Se e tiverem sinais opostos (ou seja, ), então existe pelo menos uma raiz em . - Ideia do método: dada uma faixa
com , calcula-se o ponto médio . Avalia-se . Se (caso raro), encontrou-se a raiz. Se tem mesmo sinal que , então a raiz está em ; caso contrário, está em . Repetir com o novo intervalo. - Critério de parada: aqui usamos
com . Ou seja, paramos quando o comprimento do intervalo for menor ou igual a . Uma estimativa da incerteza do ponto médio é no máximo . - Fórmulas usadas repetidamente:
- Observação prática: vamos apresentar todos os números com
casas decimais, como pedido.
Passo 3
Escolha gráfica (feita aqui por avaliação de sinais em pontos): queremos um intervalo de comprimento
que contenha a raiz. Vamos testar pontos simples e ver onde ocorre troca de sinal.
- Calcule
(positivo). - Calcule
(negativo).
Logo há uma raiz em. Para obter um intervalo de comprimento , escolhemos porque e há troca de sinal entre esses valores (mostrarei os valores com 4 casas decimais): -
. -
.
Como, o intervalo contém pelo menos uma raiz. Portanto tomamos como intervalo inicial .
Passo 4
Aplicação do Método da Bissecção — iteração 1 (com 4 casas decimais):
- Intervalo atual:
. Comprimento . - Ponto médio:
. - Avaliação:
(positivo). - Como
tem mesmo sinal que (ambos positivos), a raiz está no subintervalo . - Novo intervalo:
. Comprimento .
Passo 5
Iteração 2:
- Intervalo:
. Comprimento . - Ponto médio:
. - Avaliação:
(negativo). - Agora
tem sinal oposto a (positivo), portanto a raiz está em . - Novo intervalo:
. Comprimento .
Passo 6
Iteração 3:
- Intervalo:
. Comprimento . - Ponto médio:
. - Avaliação:
(negativo). - Como
negativo e positivo, a raiz está em . - Novo intervalo:
. Comprimento .
Passo 7
Iteração 4:
- Intervalo:
. Comprimento . - Ponto médio:
. - Avaliação:
(positivo). - Como
positivo e negativo, a raiz está em . - Novo intervalo:
. Comprimento .
Passo 8
Iteração 5:
- Intervalo:
. Comprimento . - Ponto médio:
(note que arredondado para 4 casas é ). - Avaliação:
(positivo; mostrado com 4 casas). - Como
positivo e negativo, a raiz está em . - Novo intervalo:
. Comprimento .
Passo 9
Critério de parada e interpretação do resultado:
- O comprimento do intervalo atual é
(arredondado para 4 casas), que é menor que . Pelo critério escolhido, devemos parar aqui. - Então a raiz está contida no intervalo
. - Uma aproximação central razoável é o ponto médio
(arredondado a 4 casas). A incerteza máxima do ponto médio é, no máximo, , compatível com o critério .
Resposta
Intervalo final contendo a raiz:
Aproximação da raiz (ponto médio):
Aproximação da raiz (ponto médio):