Aplique o Método da Bissecção para resolver:
(a) e^{x}-3 x=0;
obtendo em cada caso, a e b iniciais graficamente. Os valores de a e b são os extremos dos intervalos a, b que contém a solução de cada equação. Como sugestão, obtenha para cada caso um intervalo de comprimento 0.2 e aplique o Método da Bissecção considerando como critério de parada \varepsilon=10^{-2}. Trabalhe com 4 casas decimais.

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação e^{x}-3x=0 usando o Método da Bissecção. Especificações dadas:
  • Encontrar os extremos iniciais a e b graficamente de modo que o intervalo [a,b] contenha a solução.
  • Como sugestão, obter um intervalo inicial de comprimento 0{,}2.
  • Aplicar o Método da Bissecção com critério de parada \varepsilon=10^{-2}.
  • Trabalhar com 4 casas decimais nas contas apresentadas.
Informações que iremos usar explicitamente: a função a resolver é f(x)=e^{x}-3x, o critério de parada é \varepsilon=10^{-2} e queremos um intervalo inicial de comprimento 0{,}2 que contenha a raiz.

Passo 2

Breve aula sobre o Método da Bissecção (passo-a-passo e por que funciona), sem pular etapas:
  • Definição da função: seja f(x)=e^{x}-3x. Cada variável e símbolo: x é a incógnita; e^{x} é a função exponencial; f(x) é a diferença entre e^{x} e 3x.
  • Continuidade e teorema do valor intermediário: e^{x} é contínua e 3x também, logo f(x) é contínua. Se f(a) e f(b) tiverem sinais opostos (ou seja, f(a)\cdot f(b)<0), então existe pelo menos uma raiz em [a,b].
  • Ideia do método: dada uma faixa [a,b] com f(a)\cdot f(b)<0, calcula-se o ponto médio m=\dfrac{a+b}{2}. Avalia-se f(m). Se f(m)=0 (caso raro), encontrou-se a raiz. Se f(m) tem mesmo sinal que f(a), então a raiz está em [m,b]; caso contrário, está em [a,m]. Repetir com o novo intervalo.
  • Critério de parada: aqui usamos |b-a|\le \varepsilon com \varepsilon=10^{-2}. Ou seja, paramos quando o comprimento do intervalo for menor ou igual a 0{,}01. Uma estimativa da incerteza do ponto médio é no máximo \dfrac{b-a}{2}.
  • Fórmulas usadas repetidamente: m=\frac{a+b}{2}, \qquad \text{decisão: comparar sinais de } f(a),f(m),f(b).ã
  • Observação prática: vamos apresentar todos os números com 4 casas decimais, como pedido.

Passo 3

Escolha gráfica (feita aqui por avaliação de sinais em pontos): queremos um intervalo de comprimento 0{,}2 que contenha a raiz. Vamos testar pontos simples e ver onde ocorre troca de sinal.
  • Calcule f(0)=e^{0}-3\cdot0=1 (positivo).
  • Calcule f(1)=e^{1}-3\cdot1\approx2{,}7183-3=-0{,}2817 (negativo).
    Logo há uma raiz em [0,1]. Para obter um intervalo de comprimento 0{,}2, escolhemos [a,b]=[0{,}5,\,0{,}7] porque 0{,}7-0{,}5=0{,}2 e há troca de sinal entre esses valores (mostrarei os valores com 4 casas decimais):
  • f(0{,}5)=e^{0{,}5}-3(0{,}5)\approx 1{,}6487-1{,}5000=0{,}1487.
  • f(0{,}7)=e^{0{,}7}-3(0{,}7)\approx 2{,}0138-2{,}1000=-0{,}0862.
    Como f(0{,}5)\cdot f(0{,}7)<0, o intervalo [0{,}5,0{,}7] contém pelo menos uma raiz. Portanto tomamos como intervalo inicial [a,b]=[0{,}5,0{,}7].

Passo 4

Aplicação do Método da Bissecção — iteração 1 (com 4 casas decimais):
  • Intervalo atual: a=0{,}5000,\\ b=0{,}7000. Comprimento =0{,}2000>\varepsilon.
  • Ponto médio: m=\dfrac{0{,}5000+0{,}7000}{2}=0{,}6000.
  • Avaliação: f(0{,}6000)=e^{0{,}6000}-3(0{,}6000)\approx 1{,}8221-1{,}8000=0{,}0221 (positivo).
  • Como f(m) tem mesmo sinal que f(a) (ambos positivos), a raiz está no subintervalo [m,b]=[0{,}6000,0{,}7000].
  • Novo intervalo: a=0{,}6000,\\ b=0{,}7000. Comprimento =0{,}1000.

Passo 5

Iteração 2:
  • Intervalo: a=0{,}6000,\\ b=0{,}7000. Comprimento =0{,}1000>\varepsilon.
  • Ponto médio: m=\dfrac{0{,}6000+0{,}7000}{2}=0{,}6500.
  • Avaliação: f(0{,}6500)=e^{0{,}6500}-3(0{,}6500)\approx 1{,}9155-1{,}9500=-0{,}0345 (negativo).
  • Agora f(m) tem sinal oposto a f(a) (positivo), portanto a raiz está em [a,m]=[0{,}6000,0{,}6500].
  • Novo intervalo: a=0{,}6000,\\ b=0{,}6500. Comprimento =0{,}0500.

Passo 6

Iteração 3:
  • Intervalo: a=0{,}6000,\\ b=0{,}6500. Comprimento =0{,}0500>\varepsilon.
  • Ponto médio: m=\dfrac{0{,}6000+0{,}6500}{2}=0{,}6250.
  • Avaliação: f(0{,}6250)=e^{0{,}6250}-3(0{,}6250)\approx 1{,}8682-1{,}8750=-0{,}0068 (negativo).
  • Como f(m) negativo e f(a) positivo, a raiz está em [a,m]=[0{,}6000,0{,}6250].
  • Novo intervalo: a=0{,}6000,\\ b=0{,}6250. Comprimento =0{,}0250.

Passo 7

Iteração 4:
  • Intervalo: a=0{,}6000,\\ b=0{,}6250. Comprimento =0{,}0250>\varepsilon.
  • Ponto médio: m=\dfrac{0{,}6000+0{,}6250}{2}=0{,}6125.
  • Avaliação: f(0{,}6125)=e^{0{,}6125}-3(0{,}6125)\approx 1{,}8451-1{,}8375=0{,}0076 (positivo).
  • Como f(m) positivo e f(b) negativo, a raiz está em [m,b]=[0{,}6125,0{,}6250].
  • Novo intervalo: a=0{,}6125,\\ b=0{,}6250. Comprimento =0{,}0125.

Passo 8

Iteração 5:
  • Intervalo: a=0{,}6125,\\ b=0{,}6250. Comprimento =0{,}0125>\varepsilon.
  • Ponto médio: m=\dfrac{0{,}6125+0{,}6250}{2}=0{,}6188 (note que 0{,}61875 arredondado para 4 casas é 0{,}6188).
  • Avaliação: f(0{,}6188)=e^{0{,}6188}-3(0{,}6188)\approx 1{,}8566-1{,}8563=0{,}0003 (positivo; mostrado com 4 casas).
  • Como f(m) positivo e f(b) negativo, a raiz está em [m,b]=[0{,}6188,0{,}6250].
  • Novo intervalo: a=0{,}6188,\\ b=0{,}6250. Comprimento =0{,}0063.

Passo 9

Critério de parada e interpretação do resultado:
  • O comprimento do intervalo atual é b-a=0{,}6250-0{,}6188=0{,}0062 (arredondado para 4 casas), que é menor que \varepsilon=0{,}01. Pelo critério escolhido, devemos parar aqui.
  • Então a raiz está contida no intervalo [0{,}6188,\,0{,}6250].
  • Uma aproximação central razoável é o ponto médio m=\dfrac{0{,}6188+0{,}6250}{2}=0{,}6219 (arredondado a 4 casas). A incerteza máxima do ponto médio é, no máximo, \dfrac{b-a}{2}\approx 0{,}0031, compatível com o critério \varepsilon.

Resposta

Intervalo final contendo a raiz: [0{,}6188,\,0{,}6250]
Aproximação da raiz (ponto médio): 0{,}6219

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