\hline 3^{\mathrm{a}} QUESTÃO & & Valor: 1,00 \
\hline \multicolumn{3}{|c|}{Sabendo que as raízes reais da equação (1-\mathrm{x})\left(1+\mathrm{x}^{2}\right)\left(1-\mathrm{x}^{3}\right)=-72 \mathrm{x}^{3} são iguais a \operatorname{tg}(\alpha) e \operatorname{tg}(\beta) com \alpha, \beta \in[0, \pi]. Determine a soma dos quadrados dos algarismos do valor de (2024 \cdot(\alpha+\beta) / \pi ).} \

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • A equação dada é (1-\mathrm{x})\left(1+\mathrm{x}^{2}\right)\left(1-\mathrm{x}^{3}\right)=-72 \mathrm{x}^{3}.
  • Diz-se que as raízes reais dessa equação são \tan(\alpha) e \tan(\beta), com \alpha,\beta\in[0,\pi].
  • O que se pede: calcular a soma dos quadrados dos algarismos do valor de
\frac{2024\cdot(\alpha+\beta)}{\pi}.

Passo 2

Primeiro simplifico um pouco a expressão algébrica para perceber simetrias. Uso a fatoração (1-\mathrm{x}^{3})=(1-\mathrm{x})(1+\mathrm{x}+\mathrm{x}^{2}). Então a parte esquerda da equação fica
(1-\mathrm{x})(1+\mathrm{x}^{2})(1-\mathrm{x}^{3})=(1-\mathrm{x})^{2}(1+\mathrm{x}+\mathrm{x}^{2})(1+\mathrm{x}^{2}).
Assim a equação é equivalentemente
(1-\mathrm{x})^{2}(1+\mathrm{x}+\mathrm{x}^{2})(1+\mathrm{x}^{2})=-72\mathrm{x}^{3}.

Passo 3

Vou analisar uma propriedade de simetria muito útil: verificar o que acontece se trocarmos \mathrm{x} por 1/\mathrm{x} (para \mathrm{x}\neq0). Substituindo \mathrm{x}\mapsto 1/\mathrm{x} na equação original:
\bigl(1-\tfrac{1}{\mathrm{x}}\bigr)\bigl(1+\tfrac{1}{\mathrm{x}^{2}}\bigr)\bigl(1-\tfrac{1}{\mathrm{x}^{3}}\bigr)=-72\cdot\tfrac{1}{\mathrm{x}^{3}}.
Multiplicando ambos os lados por \mathrm{x}^{6} obtemos
(\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}^{2}+1)(\mathrm{x}^{3}-1)=-72\mathrm{x}^{3}.
Agora note que \mathrm{x}-1=-(1-\mathrm{x}) e \mathrm{x}^{3}-1=-(1-\mathrm{x}^{3}); portanto
(\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}^{2}+1)(\mathrm{x}^{3}-1)=(1-\mathrm{x})(1+\mathrm{x}^{2})(1-\mathrm{x}^{3}).
Logo a equação resultante é exatamente a mesma equação original (após multiplicar por potência de \mathrm{x}). Conclusão prática: se \mathrm{x}_0\neq0 é raiz, então 1/\mathrm{x}_0 também é raiz. Em outras palavras, as raízes não nulas aparecem em pares reciprocais.

Passo 4

Agora uso uma observação simples sobre sinais para saber onde estão as raízes reais. Para \mathrm{x}>0 temos (1-\mathrm{x})^{2}\ge0, 1+\mathrm{x}+\mathrm{x}^{2}>0 e 1+\mathrm{x}^{2}>0; portanto o produto (1-\mathrm{x})^{2}(1+\mathrm{x}+\mathrm{x}^{2})(1+\mathrm{x}^{2}) é não‑negativo, e mais, somando 72\mathrm{x}^{3}>0 obtemos sempre um número estritamente positivo. Em particular não existe raiz real positiva (porque a soma das parcelas do lado esquerdo seria estritamente positiva, não zero). Logo todas as raízes reais possíveis são negativas (ou zero, mas \mathrm{x}=0 não satisfaz a equação, pois o lado esquerdo em \mathrm{x}=0 vale 1\neq0).
Como as raízes reais que existem são negativas e a relação de reciprocidade foi demonstrada no passo anterior, as duas raízes reais não nulas devem ser um par \mathrm{x}_0 e 1/\mathrm{x}_0 com \mathrm{x}_0<0 e 1/\mathrm{x}_0<0. O enunciado identifica essas duas raízes com \tan(\alpha) e \tan(\beta).

Passo 5

Vou traduzir a reciprocidade das raízes para uma relação entre os ângulos \alpha e \beta.
Se \tan(\alpha)=\mathrm{x}_0 e \mathrm{x}_0<0, então \alpha\in\bigl(\tfrac{\pi}{2},\pi\bigr) (seno positivo e cosseno negativo ou seno positivo? de qualquer forma, ângulo no segundo quadrante onde a tangente é negativa). A recíproca 1/\mathrm{x}_0 também é negativa, e existe um ângulo \beta\in\bigl(\tfrac{\pi}{2},\pi\bigr) tal que \tan(\beta)=1/\mathrm{x}_0.
Agora uso a identidade entre tangente e complemento deslocado por \pi:
\tan\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\bigr)=\frac{1}{\tan(\alpha)}.
Mas \tfrac{\pi}{2}-\alpha é negativo quando \alpha>\tfrac{\pi}{2}. Para obter um ângulo no intervalo [0,\pi] que tenha a mesma tangente, acrescento \pi (lembre: \tan(\theta+\pi)=\tan\theta). Assim um \beta\in[0,\pi] com \tan(\beta)=1/\tan(\alpha) é
\beta=\tfrac{\pi}{2}-\alpha+\pi=\tfrac{3\pi}{2}-\alpha,
e para \alpha\in\bigl(\tfrac{\pi}{2},\pi\bigr) esse \beta pertence a \bigl(\tfrac{\pi}{2},\pi\bigr) também. Portanto
\alpha+\beta=\alpha+\bigl(\tfrac{3\pi}{2}-\alpha\bigr)=\tfrac{3\pi}{2}.
(Resumo da ideia: como as raízes reais são negativas, os ângulos correspondentes estão no segundo quadrante; a recíproca da tangente corresponde ao ângulo \tfrac{\pi}{2}-\alpha deslocado por \pi, o que dá \beta=\tfrac{3\pi}{2}-\alpha, e então \alpha+\beta=\tfrac{3\pi}{2}.)

Passo 6

Agora calculo o valor pedido: primeiro
\frac{2024\cdot(\alpha+\beta)}{\pi}= \frac{2024\cdot\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)}{\pi}=2024\cdot\tfrac{3}{2}=2024\cdot1{,}5=3036.
O número obtido é 3036.

Passo 7

Por fim somo os quadrados dos algarismos de 3036. Os algarismos são 3,0,3,6. Seus quadrados são 3^{2}=9, 0^{2}=0, 3^{2}=9, 6^{2}=36. A soma é
9+0+9+36=54.

Resposta

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