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QUESTÃO & & Valor: 1,00 \
\hline \multicolumn{3}{|c|}{Sabendo que as raízes reais da equação
são iguais a
com
. Determine a soma dos quadrados dos algarismos do valor de (2024
).} \
\hline \multicolumn{3}{|c|}{Sabendo que as raízes reais da equação
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
- A equação dada é
. - Diz-se que as raízes reais dessa equação são
e , com . - O que se pede: calcular a soma dos quadrados dos algarismos do valor de
Passo 2
Primeiro simplifico um pouco a expressão algébrica para perceber simetrias. Uso a fatoração
. Então a parte esquerda da equação fica
Assim a equação é equivalentemente
Passo 3
Vou analisar uma propriedade de simetria muito útil: verificar o que acontece se trocarmos
por
(para
). Substituindo
na equação original:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Agora note que
e
; portanto
Logo a equação resultante é exatamente a mesma equação original (após multiplicar por potência de
). Conclusão prática: se
é raiz, então
também é raiz. Em outras palavras, as raízes não nulas aparecem em pares reciprocais.
Passo 4
Agora uso uma observação simples sobre sinais para saber onde estão as raízes reais. Para
temos
,
e
; portanto o produto
é não‑negativo, e mais, somando
obtemos sempre um número estritamente positivo. Em particular não existe raiz real positiva (porque a soma das parcelas do lado esquerdo seria estritamente positiva, não zero). Logo todas as raízes reais possíveis são negativas (ou zero, mas
não satisfaz a equação, pois o lado esquerdo em
vale
).
Como as raízes reais que existem são negativas e a relação de reciprocidade foi demonstrada no passo anterior, as duas raízes reais não nulas devem ser um par
e
com
e
. O enunciado identifica essas duas raízes com
e
.
Passo 5
Vou traduzir a reciprocidade das raízes para uma relação entre os ângulos
e
.
Se
e
, então
(seno positivo e cosseno negativo ou seno positivo? de qualquer forma, ângulo no segundo quadrante onde a tangente é negativa). A recíproca
também é negativa, e existe um ângulo
tal que
.
Agora uso a identidade entre tangente e complemento deslocado por
:
Mas
é negativo quando
. Para obter um ângulo no intervalo
que tenha a mesma tangente, acrescento
(lembre:
). Assim um
com
é
e para
esse
pertence a
também. Portanto
(Resumo da ideia: como as raízes reais são negativas, os ângulos correspondentes estão no segundo quadrante; a recíproca da tangente corresponde ao ângulo
deslocado por
, o que dá
, e então
.)
Passo 6
Agora calculo o valor pedido: primeiro
O número obtido é
.
Passo 7
Por fim somo os quadrados dos algarismos de
. Os algarismos são
. Seus quadrados são
,
,
,
. A soma é
Resposta
54