Determine a solução geral.
ddotx-2 dotx=e^t

Passo 1

Estamos com a equação diferencial de 2ª ordem ddotx-2dotx=e^t. O conteúdo é EDO lineares com coeficientes constantes e vamos precisar de dois ingredientes: a solução geral da parte homogênea e uma solução particular via coeficientes indeterminados.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos ddotx-2dotx=0 e montamos a equação característica:
r^2-2r=0
que dá as raízes r=0 e r=2. Logo, a solução homogênea é
xh(t)=C1+C2e^2t

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular xp(t) para ddotx-2dotx=e^t usando coeficientes indeterminados. Como o termo forçante é e^t, tentamos
xp(t)=Ae^t
Calculando derivadas:
dotxp=Ae^t,
ddotxp=Ae^t
Substituindo na equação original:
Ae^t-2Ae^t=e^t
-A e^t=e^t
Logo -A=1 e A=-1. Portanto
xp(t)=-e^t

Passo 4

A solução geral é a soma da homogênea com a particular.

Resposta

x(t)=C1+C2e^2t-e^t

Exercícios relacionados